SÉANCE DU 25 SEPTEMBRE I9II. ogi 



crite par le centre de U. Or, aux tangentes asymptotiques de (A) et aux 

 tangentes conjuguées d^ r/, correspondent les sphères principales de (M) 

 et les sphères S, S,. Par suite, les points O, O, sont conjugués harmo- 

 niques par rapport aux centres de courbure principaux de (M). 



On démontrera de la même manière que les points O, O^, sont conju- 

 gués harmoniques par rapport aux centres de coui'bure principaux de (N). 



2. Si la congruence (rf) appartient au complexe linéaire L qui définit la 

 transformation de Lie, la sphère 1 se réduit à un point et les points O, M, N 

 coïncident; par suite, les sphères 2;,, S^, coïncident avec la sphère harmo- 

 nique H de la surface (M) et les droites </, , d_^ sont conjuguées par rapport 

 à L. En outre, si l'on désigne par C et D les seconds foyers de ces droites, 

 les surfaces (C) et (D) qui correspondent à la seconde nappe de l'enve- 

 loppe de la sphère H sont polaires réciproques par rapport à L. Dès lors, 

 la droite CD admet C, D comme points focaux et les tangentes r/j, d_,. des 

 surfaces (C), (D), conjuguées aux droites d^^d^^, sont conjuguées par 

 rapport à L. 



3. Si la congruence {d) est W, les lignes de courbure des surfaces (M), 

 (N) se correspondent et les normalies développables de ces surfaces décou- 

 pent sur la surface (O) un réseau conjugué C. Si déplus la congruence (c?,) 

 est W, les normalies développables de la surface (M) découpent sur la sur- 

 face (O,) un réseau conjugué G,. Les points O et O, étant conjugués 

 harmoniques par rapport aux centres de courbure principaux de (M), il 

 résulte d'un théorème de M. Kœnigs (') que les réseaux C et C, sont à 

 invariants égaux. Une partie de ce résultat peut être énoncée comme il suit : 

 les normalies développables de (N) découpent sur (O) un réseau conjugué 

 à invariants égaux. Si l'on y joint la remarque que les points O, O^, sont 

 conjugués harmoniques par rapport aux centres de courbure principaux 

 de (N), l'application du théorème de M. Kœnigs, invoqué plus haut, 

 montre que les normalies développables de (N) découpent sur (0_,) un 

 réseau conjugué à invariants égaux. Dès lors, sur les deux nappes de l'en- 

 veloppe de la sphère (-_,), les lignes de courbure se correspondent et la 

 congruence {d_^) est W. Par conséquent : 



Si une congruence lyd) est W et si une de ses transformées de Laplace {d,), 

 (</_,) est W, toutes ses transformées de Laplace seront W. 



(') Comptes rendus, l. 113, 1891, p. 1022. 



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