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Nous avons énoncé ce théorème en 19090, M. Tzitzéica l'a retrouvé 

 récemment (^). Nous l'avions établi par les considérations qui précèdent et 

 aussi par l'application des méthodes de la (îréométrie projectivc intrinsèque 

 que nous avons exposées dans notre Note du 22 février 1909. 



Indiquons enfin une troisième démonstration de ce théorème. Conservant 

 toutes les notations du n" 1, supposons que la congruence (r/) soit W et dé- 

 signons par?/, v les paramètres des lignes asymptotiques des surfaces (A) 

 et (B). Reportons-nous maintenant à notre Note du 3 janvier 1910 et pre- 

 nons !S pour sphère S3. Pour que la congruence (</,) soit \^ , il faut et il 

 suffit que, sur la surface (O,), le réseau (m, c) soit conjugué. Si Ton exprime 

 analytiquement cette condition, on trouve 



U désignant une fonction de a et V une fonction de t^, et l'on déduit immé- 

 diatement de là que la congruence (^_,) est aussi W ('). c. q. r. d, 



(') Bulletin de la Classe des Sciences de i Académie royale de Belgique, dé- 

 cembre 1909. — Pour que les complexes linéaires oscuiateurs des congruences (c^i), 

 (r/_i) soient conjugués par rapport au complexe linéaire osculaleur de la con- 

 gruence {d), il faut et il suffit que la congruence {d) appartienne à un complexe 

 linéaire. 



(^) Comptes rendus, séance du t/i avril 191 1. — Faisons observer toutefois que le 

 raisonnement de M. Tzitzéica prouve seulement qu'à toute équation de Laplace à 

 invariants égaux admettant six solutions liées par une relation quadratique à coeffi- 

 cients constants correspond une congruence W dont toutes les transformées de Laplace 

 sont W. Pour démontrer notre théorème par des considérations relatives à l'espace à 

 cinq dimensions, il suffit d'utiliser complètement le théorème de M. Kœnigs. 



(') Comme l'angle f/o de deux sphères S^ infiniment voisines est donné par la irir- 

 mule rfcp* = 9- <y«' -l-/)f f/f% les développables des congruences (rf), (c/i), (^_i) ont 

 pour équation différentielle q- du- -i-p\ di>^=: o ou, en tenant compte de la relation (ot), 

 U' <i«' -(- \ -rfv''= o. De là résulte un théorème énoncé par M. Tzitzéica : Si les 

 tangentes d'un réseau conjugué engendrent des congruences W, ce réseau est iso- 

 t/iermo-nonj'ugué. Signalons la réciproque qui se déduit de la même analyse: 5/ "wef/e* 

 tangentes d'un réseau isothermo-conjugué engendre une congruence W, l'autre 

 tangente engendre aussi une congruence W. 



Par un choix conveoable du paramètre m, v, l'équation (a) se réduit à 9;=/»,. En 

 remplaçant /;, par^ dans les équations (A) de notre Note du 3 janvier 1910, on obtient 

 un système du sept équations à sept inconnues dont l'intégration donnerait les con- 

 gruences W dont toutes les transformées de Laplace sont W. 



