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quand £ et ■/] tendent vers zéro. Je rappelle que s et y] correspondent à l'in- 

 tervalle (a — £, a-f-Yj) supprimé dans l'intégration. 



Peut-il arriver que cette solution soit continue dans l'intervalle (a, />)? 

 Il faut écrire que le résidu de /(:c) est nul en a. Au premier abord, il 

 semble qu'on obtiendra ainsi une relation entre A et C, et par suite, pour 

 toute valeur de A, une solution continue. Mais il n'en est rien. La relation 

 précédente confient seulement X (et non C ) ; elle a la forme 



(>) G(X)=o, 



G étant une fonction entière. L'équation intégrale (E) a, pour les irileurs 

 de X racines de cette équation, une solution f{x) continue entre a et b. 



On peut établir ce tbéoième, en recourant à la forme de f (jc) que j'ai 

 donnée précédemment. Avec les notations habiLuelles de la théorie de 

 l'équation de Fredholm, on a à envisager l'équation 



(.) D(X)d.(.)-.jr^ '"-';:^)^'^-) <,-^o, 



l'intégrale étant prise toujours en supprimant l'intervalle (a — £, a-f--/j) 

 qui tend ensuite vers zéro. En calculant le coefficient d'une puissance quel- 

 conque de X dans le développement du premier membre de (2), on recon- 

 naît, après diverses transformations, qu'il ne dépend pas du rapport 

 limite C. 



3. Pour une valeur X„ racine de (t), nous trouvons donc une solution de 

 l'équation (E) continue entre a et b. Cette solution paraît dépendre de la 

 constante C, mais il est aisé devoir qu'il n'en est rien. L'analyse précédente 

 nous donne donc e« ^e«era/ une solution unique de (E), continue entre a 

 et h, correspondant à une racine de G(A )= o. 



4. On vérifie, par un calcul direct, les résultats généraux qui précèdent 

 dans le cas élémentaire où 



Iv(.r,r) = X(.r)Y(j), 



X et Y dépendent respectivement de x et de v. 



La solution de (E) est alors manifestement de la forme 



