SÉANCE DU 2 OCTOBRE 19TI. 625 



rintés:rale 



1= ff{z)dz 

 •■'r. 



est nulle pour tout contour fermé C, tracé dans l'intérieur du domaine 

 simplement connexe D. 



Tout revient donc à démontrer que l'intégrale I est nulle, quel que soit 

 le contour fermé C. Cette démonstration est tout à fait analogue à la 

 démonstration classique de M. Goursat pour le théorème fondamental de 

 Cauchy. 



. 2. Voici maintenant deux applications de notre théorème : 



Considérons une fonction analytique /'(g) yoar/OM^ continue, donc conti- 

 nue aussi sur l'ensemble F des points singuliers 'Ç. (Pour un exemple d'une 

 telle fonction, voir les Comptes rendus ^ 28 novembre 1904 et 3 mai 1909). 

 Les. valeurs de /(«.) sur une partie seulement de l'ensemble singulier F 

 caractérisent parfaitement la fonction /'( -). 



En effet, supposons qu'une autre fonction partout continue g{^z) puisse 

 prendre ««• «.«e^ara'e f/e F (' ) les mêmes valeurs que /(s). Nous suppo- 

 sons donc que g (s) et /(;) admettent le même ensemble de points sin- 

 guliers. 



Nous considérerons alors la fonction 



qui est de même nature (partout continue) que /"et o'. Mais elle s'annule 

 sur les points C ou f et g coïncident. D'après le théorème, que nous 

 venons d'énoncer, h (s) est holomorphe dans la région du plan qui contient 

 les points C et, puisque dans cette région elle est nulle en une inflnité de 

 points, elle est identiquement nulle. 



Donc j^(s) et/'(G) coïncident. 



Lue autre application est relative au prolongement analytique. 



Soit /"(r) une fonction holomorphe dans l'intérieur d'un domaine D el 

 continue sur la frontière F de ce domaine. Je me place dans le cas où F est 

 l'ensemble le plus général de son espèce (et l'on sait que, dans ce cas, F peut 

 avoir partout une longueur infinie ou même une aire partout non nulle). 



Cela posé, supposons qu'on a pu trouver, en dehors de D, une fonction 



C) J'entends par l'expression une partie de F tous les points de F contenus dans 

 l'intérieur d'un contour fermé, un cercle par exemple, qui ne contient pas tout F. 



