SÉANCE DU 9 OCTOBRE 191I. 65g 



o étant une fonction convenablement déterminée. Observons d'abord qu'on 



peut supposer que cette fonction tend vers zéro, en même temps que son 



second argument. En effet, /(^c) — a s'annule à l'origine, et son module 



P 

 est <ç(a,^) sur le cercle |.r| = — ; donc à l'intérieur de ce cercle son module 



est 5— 1^ S (a, ^), limite qui peut remplacer fla,— \ dans l'inégalité (3), 



et qui tend vers zéro avec ^• 



En donnant alors à a; la valeur ^ dans l'inégalité (3), nous voyons que la 

 seconde condition (2) ne pourrait pas être vérifiée, si R dépassait une cer- 

 taine limite. 



Les contours simples C dans le plan des x se divisent en deux catégories, 

 suivant qu'il est ou non possible de déterminer une fonction /(a;), régu- 

 lière ^ o et 7^ I à l'intérieur de C, et vérifiant les conditions (2). L'exis- 

 tence de la deuxième catégorie résulte de ce qui précède, et celle de la pre- 

 mière est évidente. Un contour C étant donné, le problème se pose de savoir 

 à quelle catégorie il appartient. A l'aide d'une représentation conforme, ce 

 problème se ramène au cas où C est un cercle ayant l'origine pour centre. 

 Parmi ces cercles, il en existe certainement un, bien déterminé, de rayon p, 

 qui sert de limite commune aux deux catégories; ce cercle lui-même appar- 

 tient à la première^ et la fonction f{x), quivérifie à son intérieur les conditions 

 indiquées^ l'admet comme coupure. 



Ces résultats peuvent être établis par des procédés élémentaires; il en 

 résulte un procédé nouveau pour établir l'existence de fonctions admettant 

 leur cercle de convergence comme coupure. D'ailleurs, la théorie des fonc- 

 tions modulaires permet de préciser ces résultats en formant l'expression 

 de p; on l'obtient aisément par une méthode analogue à celle qu'a employée 

 M. Carathéodory pour préciser le théorème de M. Landau. 



En généralisant le théorème établi au début et celui de MM. Landau et 

 Schottky, j'ai obtenu le résultat suivant : 



Soient a et h deux constantes et U^ et Vf deux fonctionnelles vérifiant la 

 condition suivante : lorsque la fonction f{x) tend uniformément rers une 

 constante quelconque a dans une région ^nie R du plan, l'une au moins des 

 quantités U^ ~a et V^ — h est à partir d un certain instant f^ o ; // en est de 



même si j- — - tend uniformément vers zéro dans la région R. 



Dans ces conditions , si f(x) est une fonction régulié/^e, 7^0 et ^ 1 pour 



c. K., 191., 2» Semestre. (T. 1&3, N" 15.) . 88 



