66o ACADÉMIK DES SCIENCES. 



I .r I <^ K, et si Fou a de plus 



(4) \if=a, \f^b, 



on peut déterminer une limite supérieure de R. 



Voici le principe de la démonstration. A cause des conditions ( 4 ), ./(ï^) 

 ne peut être ni constamment très grand, ni constamment très voisin de o 

 ou I. Il existe donc dans R une valeur ; de .r pour laquelle ./(•») prend 

 une valeur y] située dans une région convenablement déterminée du plan, 

 finie et ne contenant pas les valeurs o et i. De même, f {x) ne peut être 

 constamment très voisin de r^ ; il existe donc dans R une valeur \' de x telle 

 que \fÇ^') — f]\^^\'f\ — '']\ surpasse un nombre convenablement déter- 

 miné. Los conditions 



sont analogues aux conditions (2); on peut donc déterminer une limite 

 supérieure de R. Cette démonstration exige d'ailleurs, pour être rendue 

 rigoureuse, quelques précautions sur lesquelles je reviendrai dans un tra- 

 vail plus complet; j'établirai, en même temps, un résultat nouveau sur 

 Tordre de grandeur d'une fonction introduite par le théorème fondamental 

 de M. Schottky. 



Je termine ici en montrant la généralité du théorème précédent. Les 

 fonctionnelles que l'on a généralement à considérer tendent vers une limite, 

 quand la fonction /(t) tend uniformément vers une limite 9(^), sauf 

 peut-être pour certaines déterminations particulières de o{x). 11 n'est donc 

 pas très restrictif de supposer que U^ tende vers une limite différente de «, 

 quand/(a:;) tend uniformément vers une constante a, sauf pour certaines 

 valeurs ( a' ) de a. La seconde condition (4 ) conduit de même à considérer 

 des valeurs exceptionnelles (a"). Pour que le théorème précédent soit 

 applicable, il suffit que les deux familles ( a' ) et (y") n'aient aucun élément 

 commun. Ces familles étant le plus souvent des suites finies ou dénom- 

 brables, le cas le plus général est celui où elles n'ont aucun élément com- 

 mun, et où, par suite, l'hypothèse du théorème précédent est vérifiée. 



