SÉANCE DU 16 OCTOBRE I91I. 7o5 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces R et les surfaces Q. 

 Note (') de M. A. Demoulin. 



1. Dans notre Note du a,5 septembre 191 1, nous avons établi que la 

 transformation de Lie fait correspondre à tonte surface isotliermique (M) 

 un réseau R dont une des tangentes d appartient au complexe linéaire L 

 qui définit la transformation. 



Sup[)osons que la sphère 2, coupe une spbcre fixe F sous un angle 

 constant sans lui être tangente (-) et, envisageant la métrique non eu- 

 clidienne dans laquelle F est la quadrique fondamentale, soumettons la 

 surface (M), considérée comme appartenant à l'espace euclidien, à la 

 transformation de M. Darboux. A cette surface correspondra une sur- 

 face (M) dont la courbure moyenne non euclidienne sera constante 

 (nulle si 1, est orthogonale à F). Ce théorème a été énoncé par M. Ser- 

 vant (^) qui a en outre montré que la principale difficulté de la déter- 

 mination des surfaces à courbure moyenne non euclidienne constante 

 consiste dans l'intégration de l'équation 



d'B . , 



(11.) ^^=„„5, 



au ai' 



dont dépendent les surfaces à courbure totale euclidienne constante. 

 Ajoutons que, lorsque cette intégration aura été effectuée, il faudra en- 

 core, pour obtenir les surfaces (M'), intégrer deux équations de Riccati 

 aux difierentielles totales. 



D'autre part, pour que la sphère Z, coupe une sphère fixe sous un angle 

 constant, sans lui être tangente, il faut et il suffit que les congruences (rf, ), 

 (rf_i ) appartiennent à deux complexes linéaires non spéciaux L,, L., 



(') Reçue dans la séance du 9 octobre 1911. 



(-) Si la sphère il est tangente à une sphère fix^e, la surface (M) est une surface 

 de M. Tiivbaut et la droite di s'appuie sur une droite fixe. 



(^) Comptes rendus, t. 131, 1900, p. 827. — On peut l'établir comme il suit : 

 A la sphère harmonique ii de la surface (M) correspond, dans la transformation de 

 M. Darboux, la sphère harmonique de la surface (M'). Comme la première coupe la 

 sphère fondamentale F sous un angle constant, la seconde a un rayon constant, ce 

 qui démontre le théorème. En particulier, si la sphère 2i coupe orlhogonalement la 

 sphère F, la sphère harmonic[ue de la surface (M') se réduit à un plan et la surface (M' ) 

 est minima. 



