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conjugués par rapport au complexe L. Dès lors, à toute solution de l'équa- 

 tion (\L) con-espond une infinité simple de l'éseaux conjugués dont les deux 

 tangentes appartiennent à des complexes linéaires 'non spéciaux. On obtient 

 ainsi tous les réseaux conjugués jouissant de cette propriété. 



Nous possédons ce résultat depuis longtemps. Nous l'avons établi par la 

 méthode ci-dessus dans une lettre que nous avons eu l'honneur d'écrire à 

 M. Darboux il y a quelques années. M. ^^ ilczynski (') y a été conduit 

 récemment par une tout autre méthode. 



2. (Cherchons, parmi les réseaux qui viennent d'être envisagés, ceux qui 

 se reproduisent après quatre transformations de Laplace. Pour ces derniers, 

 les droites r/o, c?_o coïncident; or elles sont conjuguées par rapport à L, 

 donc la droite CD avec laquelle elles sont nécessairement confondues appar- 

 tient à L. D'autre part, en général, les droites d., d.. sont conjuguées par 

 rapport au complexe L, et les droites d, d_^ sont conjuguées par rapport 

 au complexe L_,. Comme dans le cas présent les droites r/^, f/_., coïncident 

 avec CD, les droites o? et t]D sont conjuguées par rapport à L, C). Ces 

 droites appartenant au complexe L, celui-ci est autoronjugué par rapport 

 à L, ; par suite, les complexes L et L, soni en involution et la sphère 1, est 

 orthogonale à la sphère F. Réciproquement, si la sphère ï, est orthogonale 

 à une sphère fixe, les droites d.,., d_.^ coïncident. On peut, dès lors, énoncer 

 le théorème suivant : 



Pour qu'un réseau conjugué dont les tangentes appartiennent à deux com- 

 plexes linéaires se reproduise après quatre transformations de Laplace, il faut 

 et il suffit que les complexes soient en involution . On déduit les réseaux jouissant 

 de cette propriété des surfaces minima non euclidiennes par l application 

 successive des transformations de M. Darboux et de Lie ('). 



3. Désignons par u et <.' les paramètres des lignes de courbure d'une sur- 

 face H et conservons toutes les notations de M. Darboux {^Leçons, IP Partie, 

 p. 386). 



(') Sur la théorie générale des congruences (Méin. de l'Acadcinie royale de 

 Belgique : Classe des Sciences, coll. in-zj". 2"= sùrie, t. III; 191 1). 



(-) 11 esl clair que les tlroiles r/ et CD sont aussi conjuguées par rapport au com- 

 plexe L_,. Par suite, les complexes L,, L_,, ayant en commun une double infinité 

 (le couples de droites conjuguées, coïncident. 



(^) Ces réseaux s'obtiennent en faisant x := o dans les formules de M. Wilczyn-ki 

 {loc. cit., p. 78). 



