SÉANCE DU 23 OCTOBRE I9II. 759 



OÙ l'inconnue est ç (x), dans l'intervalle ah, et où le noyau F (s, x) devient 

 infini comme pour s =^ x. 



Les cas les plus essentiels que j'ai rencontrés se rattachent, en dernière 

 analyse, à la question suivante : Déterminer, si elle existe, la fonction ana- 

 lytique régulière du fis un cercle (do rayon i), eh/il la partie réelle soit donnée 

 sur une partie de la circonférence- frontière et la partie imaginaire sur le reste 

 de la circonférence (ce reste peut être constitué par un arc c, ou par deux 

 arcs c et c, ). 



Appelant cp(Û) et 'f , (0) la valeur inconnue de la partie réelle en un 

 pointe'^ de c ou c,, on montre que tout revient à résoudre : 



Dans le premier cas, l'équation 



siii- ■ 



et dans le second cas, le système simultané 



(3) 



sur 



l9(i-)- cp(£)]col'— -if/.y-h / 9,(.$)col— -^(A- + (p(£)log -= (£) 



* T sin- 



(«<£<(3), 



sin- - 



/ <f{s)C0l^—-^d.S-i-l [rp,(,î) — (p,(£)]cOl^— -i(/5 + 9,(£)l0g —=^^(s) 



" ï sur '- 



I - 



où a, p, 7, sont les arguments des extrémités de c et c, , et où ■\i et 'j/, sont 

 connus. 



Pour résoudre ces équations, j'emploie l'artifice suivant : 



Premier cas. — Je fais la représentation conforme du cercle donné sur 

 un demi-cercle, de manière qu'à l'arc e corresponde le diamètre — i 4- i du 

 nouveau plan z. On est alors ramené à trouver une fonction A (;) dont la 

 partie réelle soit/(0) au point e'\o <^ <-â), et la partie imaginaire^' (a:) 

 au point x(^ — i <Cx <C i). Pour cela : 



1° Je construis la fonction régulière dans le demi-plan supérieur 





- du 



