SÉANCE DU 3o OCTOBRE 19II. 797 



GÉOMÉTRIE INFIMITÉSIMALE. — Sur les surfaces 11. 

 Note (' ) de M. A. Demouun. 



I . Supposons qirunc droite d délinie par les équations 



X = az + ni . )'=//; + n 



engendre une congruence R ("). a et [i désignant les paramètres des asymp- 

 totiques des deux nappes de la surface focale, «, b, m, n, an-hni satisfont à 

 une équalion de Laplacc à invariants égaux de la forme 



0'-^ ,1 dlog'A O'j , I 0\o<g\0^_ 



dc/.O'^ 1 d<^ Oa 1 Ocf. 0^ 



Définissons maintenant quatre quantités a,, h,, /n,, n, par les équa- 

 tions 



La di-oite </,, représentée par les équations 



engendrera aussi une congruence R ( ' ). 



On obtient ainsi une Iransformalion des congruences II ; une autre tians- 

 formation des congruences R est fournie par l'homograpliie (ou la dualité) 

 la plus générale. Il est clair qu'en employant alternativement ces deux trans- 



(') Reçue dans la séance du 16 octoljie 191 1. 



(^) Pour la définition des congruences R, voir noire Note du. 25 septembre 1911. 



(^) Cette propriété caractérise, parmi les congruences W, celles qui sont R. On 

 déduit de là le théorème suivant : Pour qu'une congruence W soit R, il faut et il 

 suffit que les surfaces de la congruence circonscrites aux deux nappes de la surface 

 focale suivant leurs asymptotiques découpent sur un plan un réseau conjugué à 

 invariants égaux. Lorsque cette condition sera vérifiée, la même propriété appar- 

 tiendra à tous les plans de l'espace. 



(') Les droites (f et f/, engendrent simultanément des développables et lêuis points 

 focaux sont situés dan*; deux pians parallèles au plan des .ry. 



