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moyen mouvement du nœud lunaire : c'est-à-dire, au point de vue analy- 

 tique, il a démontré qu'étant donnée l'équation différentielle à laquelle sa- 

 tisfait l'anomalie du uonid lunaire, il y a un nombre w tel que, pour toute 

 solution de cette équation, on peut poser 



(,) = f„<+£(/). 



OÙ t(t) reste fini même pour t i ndèjiniment croissant. Je me propose de dé- 

 montrer un théorème qui contient celui de M. Levi-Civita comme cas par- 

 ticulier : Étant donnée une éiiualion différentielle de premier ordre 



(^) ft'-'^^'-'^- 



où est une fonction finie, continue, satisfaisant aux conditions de Lipscliitz, 

 et périodique avec la période T par rapport à t, et - par rapport à 0. toutes 

 ses solutions ont la forme (i). 

 Remarquons avant tout que : 



i" SiO(/) est une solution de (2), il en est de même de toute fonction 

 0(/ + /{T) -h/iT, i' el^, étant des entiers quelconques; 



2° Si e(/) et 0,(/) sont deux solutions de (2) telles que pour t=:t, on 

 ait 0(/, ) = 0,('/, -f-XT) -!-X-,T (II- et/-, entiers), on aura toujours 



5(;0 = Ôi(<-+-^T)4-/,-,T. 



En effet, en vertu de i", les deux membres de cette égalité sont deux solu- 

 tions de (2) qui, pour / = /,. prennent la même valeur. 



J'appelle solution quasipériodique d'ordre /• (/rentier) de (i) toute solu- 

 tion (pii croit de Nt, où N est entier, lorsque / croit de k'T : une telle solu- 

 tion sera de la forme 



(3) 9{t)---^t + 7{i), 



où a(f) est périodique avec la période /-T : elle aura donc la forme (i). 

 Pour vérifier qu'une solution est quasipériodique d'ordre /■, il suffit, 

 d'après 2°, de vérifier que, pour une valeur t, de /, on a 



5(/, + AT)-'5(/,)=Nt. 



Cela posé, désignons par fi{(i^,t) la solution de (^2 ) pour laquelle on a 

 6(0o, o)=0„; d'après 2° il suffira de prouver que les solutions Ô(0o, /) 

 pour o!:Oo-<T sont du {v/)g(i). 



Distinguons deux cas : 



