SÉANCE DU 3o OCTOBKli I91I. 80I 



i" Il y a lui entier k tel que (^) a une solution quasipériodiquc d'ordre k. 

 Va\ changeant, s'il le faut, en 6 — y on peut toujours supposer qu'une telle 

 solution soit 0(o, t). Or, en vertu de 2", on ne peut jamais avoir 



5(5„.^)-6(o./,)=:/,-,r 



si Ton n'a pas Ou =/•, t: donc, puisque 0(0o,/) — 0(o,/) est une fonction con- 

 tinue de Ofl qui pour 0,, = o est nulle et qui pour o<0o ^t ne passe jamais 

 par les valeurs t, ni — t, on aura | 0(0„, t) — 0(o, ^) |<<t. 



Comme (o,/) est de la forme (3 ), on aura donc pour olr'in <C ~ 



('0 «(&„. t)=^i^a{l)-'r-n^'j„. t)-- 



où a-(/) est périodique avec la période AT cL \'/]{f)oi 0|<^ ^ • {■^) '' donc 

 bien la forme ( i ). 



2" Quel (pic soil /., il n'y a pas de solution quasipériodiquc d'ordre A. 

 Posons alors 



(5) HO,. kT)~9,=zN,(0„)7 + e,A0,), 



Na(0„) étant un entier et o1£a(0„) < ~. La fonction t/,{^„) peut être dis- 

 continue seulement dans les points 0„ où £a.(0„) = o; mais alors on au- 

 rait 0(0„, AT) = N;;.(0„)- et la fonction 0(0„, /) serait quasipériodiquc: 

 donc on aura toujours o <C^k{^K)<^ '•i ^/i(^K) sera continue, i\a(Oo) sera une 

 constante N,. Posons <' (0„) = G» + £,(0„), (7;"(0„) = al"[<-"(Oo)J : on 

 aura 0„ < 7l"(0„ ) < 0„ + t < 2T, 0„ < ^f (6o)< (/ + 1 )t. Par (5) on aura 

 encore 0( 0„, AT)= Ojcry (fjj, o] -hN^x; donc, d'après 2°, 



En posant l = /Al, on en lire 



^,),. i 5., ) + ^:7, T = cr,; ( o„ ) + i^,, 7, \ „, t -- iN,,- + [ ,•/ (O,)- o-,-V ( 6/„ ) j. 



Mais des inégalités auxquelles satisfont les t/ , on déduit 



--<7^"(5„)-crA..(9o)<(''+ •)-: 

 çionc ijinous remarquons que N,, et X;,, sont des entiers, on aura 



De même 



