SÉANCE DU 3o OCTOBRE I9II. 8o3 



limite des moyennes arithmétiques d'ordre /• a pour conséquence l'équa- 

 tion \imn~''(i,i= o, et l'existence de la limite .lira y(a^) dans le domaine 



indiqué (théorèmes de Frobenius et de Hôlder). 



La réciproque n'est pas vraie. — C'est-à-dire, si la condition lim n'' a^ = o 



est remplie et si la limite limy'(a;) existe, il ne s'ensuit pas que les moyennes 



arithmétiques d'ordre r formées en e'^» aient une limite. La preuve en est 

 que les moyennes arithmétiques de la fonction 



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— — —V r" 



formées pour .r = i, ne restent pas bornées pour« = oc quoique lim «"'"y,,^ o 



et la fonction tend vers zéro quand on s'approche de i dans le domaine angu- 

 laire considéré plus haut ('). De cette dernière espèce de régularité imposée 

 à ./(*■), on ne peut donc pas conclure en général ni à la convergence, ni à la 

 sommabilité de la série (i). 



Un théorème célèbre de Riemann sur les séries trigonométriques nous 

 assure cependant que, du moins si les rt„ tendent vers zéro, la convergence 

 en un point du cercle ne dépend que des conditions locales imposées kfia;) 

 au voisinage de ce point. On peut eu déduire facilement que, la condition 

 nécessaire lim a„ = o étant satisfaite, la série (1) est convergente dans chaque 



point du cercle de convergence où la fonction est continue et à variation bornée, 

 et cela sans qu'on fasse aucune hypothèse sur l'allure de la fonction dans 

 les autres points du cercle. En particulier, la fonction peut ne pas être 

 bornée dans le cercle de convergence. Remarquons encore, et l'on peut 

 s'en rendre compte par des exemples, que la fonction peut être continue 

 sans que la série soit convergente. 



2. Plus généralement «', à l'intérieur du cercle, c'est-à-dire en s'appro- 

 chant de e'"» par un chemin quelconque à l'intérieur du cercle, 



(a) lim/(x-) = A, 



et si 



(3) lim^'^o, 



(') \oir à ce sujet Fejéu. Sur une mcthode de M. Darboux {Comptes rendus, 

 3o novembre lyoS). 



