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on a 



(4) iim.s-'„.'(..M = li- ^i±Mi:iM+,._,+M^ =A. 



C'est l'inversion la plus complète obtenue jusqu'ici du théorème de 

 Frobenius. La condition (3) est indispensable, car elle est la conséquence 

 de (4). 



De même, (3) étant satisfait, r hypothèse (ju'à I intérieur du cercle 



(5) lirnsup.|/(.i)|^_A 



limsup. I «;,''(<;'■"«) |< A. 



entraîne l'inégalité 



Kn résumé, si les a„ satisfont à la condition (3), l'allure des moyennes 

 arithmétiques des *„ formées en e'**" nous décèle déjà l'allure générale de 

 la fonction en ce point. En eflot, si la limite (4) existe, on sait que la fonc- 

 tion tend vers A dans le domaine angulaire considéré plus haut ; si la 

 limite (4) n'existe pas, mais si la suite |^),"(e'M| est bornée pour n — ac, la 

 fonction y( a;) est indéterminée en c'"» et elle reste bornée quand on s'ap- 

 proche de ce point à l'intérieur du domaine angulaire; enfin, si la suite 

 |.y^,"(e'''«)| n'est pas bornée, la fonction devient infinie au voisinage de e''^". 



.3. On peut remplacer (3) par la condition plus générale 



lun — r^ o. 

 n'' 



r étant un nombre positif supérieur ou égal à i . Dans ce cas ce sont less]'^\e'^'), 

 les moyennes arithmétiques d'ordre /", tjui remplacent *„' . On a ainsi les 

 théorèmes : 



Si la fonction tend vers A à l'intérieur du cercle, on a lim5,''(e''*») == A. 

 Si, Cl rinlérieur du cercle lim sup. | f\x) | j; A, un a lim sup. | .v„' ( e'''» ) | f A, 



,v=e'''" ' " = * 



Enfin, si les coefficients ne sont assujettis à aucune condition, on peut 

 se servir de la sommation exponentielle de M. Borel. Voici les théorèmes 

 correspondants : 



Si la fonction est continue et à variation bornée en e'"», on u 



oc 



