SÉANCE DU 6 NOVEMBRE 191I. 861 



Maintenant je détermine p,, p.,, ..., p,,, ?m ^.j •••) ^a par les n^k 

 équations du premier degré : 



(l4) Z, + iZ,= o, Z3-H/Z.=rO, ..., Z2(„+;;.,_i+ i'Z2(„+/,, = 0; 



il restera alors 



Le point qui a pour coordonnécTs Zjjn+ij^.,, Z^in+Aj+j, Zo(„^a+3 décrit bien 

 un système triple-orthogonal. 



Remarque I. — On peut supposer n = o] p,, p., ■ ■ ^ Pn sont nuls. On a 

 simplement 



Y,=rX,. Yo=X,. 



On devra prendre pour X, et X., les coordonnées d'un réseau orthogonal 

 plan. On a bien encore une relation de la forme (9). On peut de même 

 supposer k — o; g,, q.,, .■ ■ , q„ sont nuls ; on aura 



Y',=X',. 



On prendra pour Xj une fonction arbitraire de »\ On a bien encore une 

 relation de la forme (i i). 



Remarque II. — Si des relations (i/j) on pouvait déduire une relation 

 linéaire entre les r, nuls, cette relation serait nécessairement isotrope; cela 

 reviendrait en somme à diminuer «d'une unité; même remarque en ce qui 

 concerne les j^. Si donc on veut éviter ces réductions, il faut supposer 



(i5) • n-^ ktin -\-i et «-i-AlaA + i. 



Par conséquent, si C est donné, n devra prendre les valeurs 



A — 3 , A- — I , A , /, + I . 



On obtient ainsi quatre types de systèmes triple-orthogonaux. Ces divers 

 types possèdent des propriétés bien distinctes, au point de vue de la trans- 

 formation de Laplace. 



Remarque III. — On démontre, comme dans ma Xote du 19 juin, que 

 si ^ = I, les courbes u = const., c = consl. sont des courbes planes. De 

 même, si k = 2 et si les X^ sont des constantes, les courbes ;/ = const., 

 v = const. sont des courbes sphériques. 



