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M, i> désiguaul les paramètres des lignes de courlnire de la surface (M ), 

 a', Y, s, t, .T- -+- y- -+■ Z-- — p- satisfont à une équation de Laplace de la forHio 



(«) 



On de 2 ôv du "?. du t^c 



Par suite, le point de l'espace à quatre dimensions dont les coordonnées 

 sont x,Y-, -, ip décrit un réseau O à invariants égaux. 



2. Nous appellerons réseau isothenniqiie tout réseau O à invariants égaux 

 situé dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Les réseaux 

 isothermiques de l'espace à n dimensions jouissent des propriétés suivantes, 

 bien connues dans le cas où « = 3 : 



1° Pour un choix convenable des paramèires u, c d'un réseau isother- 

 mique, le ds'- de ce réseau est de la forme ds^^ M(du- + dv'-). 



1° L'inverse d'un réseau isothermique est un réseau isothermique. 



'i" Soient (a-, v, s, ..., /) les coordonnées d'un réseau isothermi([ue. Ces 

 quantités satisfont à une équation de forme (a). Au réseau isothermique, 

 on peut en faire correspondre un autre (.t,,jx,, ;,, ..., (,) défini par les 

 égalités 



(^(■^'i. Ju^i, ••■. 'i) _ ^ dju.; y,z,..., t) dj.i-,. y,, z^, ..., t,) _ _ -^ Oj-^, y- ~, ■■•.<) _ 

 dit ' du du du 



3. Des deux dernières propriétés résulteni deux transformations des 

 réseaux isolhermiques. En les appliquant aux réseaux (./;, y, r, ip) ou plutôt 

 aux surfaces il /:]ui leur correspondent, on obtient les résultats suivants : 



I" L'inverse d'une surface 12 est une surface 12. 



2" A la surface 12 (M) correspond une surface 12 (M,) définie roniine il 

 suil. Si l'on emploie pour la surface (M,) les notations relatives à la sur- 

 face (M ) affectées de l'indice un, on a 



à(.ti,yi, 3t) _^ à(x,y, j) ^ 'd(.f,,/t, :,) _ .^ d(j:,y,z) _ 

 du du dv di' ' 



dçn _ . i)[j ()[j, . dçi 



du du du dr 



Les surfaces {M), (M,j ont même représentation sphérique de ieuis 

 lignes de courbure et il en est de même des surfaces (N), (N,) et (N'),(]\î). 



Les réseaux conjugués («,(') à invariants égaux décrits par les points O, 

 O, sont parallèles, et il en est de même des réseaux conjugués ( u, <■ ) à inva- 

 riants égaux décrits par les points ()', O,. 



