SÉANCE UU l3 NOVEMBRE I9II. 'J2n 



Soil S le point d'intersection des di'oites CC,, C'C',. Les droites 00,, 

 O'O, se coupent au point S et sont liarinoniquement conjuguées par 

 rapport aux droites SCC,, SCC,. 



Les sphères i^, Z', 1,, Ii\ enveloppent simultanément des périsphères 

 réglés. Pour un choix convenable de paramètres u, ^', ceux-ci sont définis 

 par l'équation différentielle rlir -+- dv'- — o. Les tangentes aux courbes 

 u + /(• = const., // - iv = const., tracées sur (O), sontrespectivementparal- 

 lèles aux tangentes, aux courbes u — â' = const., u -f- iv = const., tracées 

 sur (O,). Les surfaces (O' ), ( O'^ ) jouissent de la même propriété. 



Toutes ces relations entre les surfaces (M ) et (M() rappellent celles (|ui 

 existent entre deux surfaces isothermiques qui se correspondent dans la 

 transformation de C.liristoffel, aussi appellerons-nous Irans formation (1 

 l'opération en vertu de huiuelle on passe de la surface (M) à la surface (M,). 



Il est clair qu'en employant alternativement l'inversion et la transforma- 

 lion C, on peut déduire d'une surface il donnée, au moyen de (juadralures 

 seulement, une suite indéfinie de surfaces il. 



4. Soient R, R' les rayons de courbure principaux de la surface (M) 

 et R,, R', les rayons de courbure piincipaux de la surface (M,). Si l'élé- 

 ment linéaire de la représentation sphéri(jue de leurs lignes de courbure est 

 donné par l'égalité 



drf-^ q"- dit"- -t- p\ (/('-, 



on a 



ih) (lt-R')(Ri-R',)^"î'( % -^)' 



' ■ Vr/- p\] 



mdésignaul une constante arbitraire, U une fonction de u et V une fonction 

 de p. 



Réciproquement, si deux surfaces ayant même représentation sphérique 

 de leurs lignes de courbure satisfont à une relation de la forme (7^>, elles 

 sont il et se correspondent dans la transformation C. 



5. Dans notre. Note du 16 octobre 191 r, nous avons démontré que les 

 surfaces de M. (îuichard sont 12. Deux surfaces de M. (luichard associées 

 se correspondent dans la transformation C. Si leurs rayons de courbure 

 sont liés par la relation 



HR; h- R'R, = 2, 

 on a 



pp', — . I, p'p,=zl. 



