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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un système différentiel à points 

 critiques Jixes. INolc de M. L. Sciilesixcer, présentée par M. II. 

 Poincaré. 



Dans un Mémoire qui va paraître procliainenient j'expose une lliéorie, 

 concernanirintégralion du système didérentiel du second degré, que j'avais 

 établie dans ma Note insérée aux Comptes rendus (' ) et, sous une forme un 

 peu dillérentc, déjà en 1906 dans le 'J'ome 129 du Journal de Vrelle. Qu'il 

 me soit permis de résumer ici succinctement les résultats dudit Mémoire. 



Je démontre d'abord que la condition nécessaire et suffisante pour que 

 les résidus A;'^' du système linéaire (A) (foc. cit.), dont le groupe ne dépend pas 

 du point singuliers, satisfassent au système (3) (/or. cit.), consiste en ce que 



les résidus —V A)^', correspondant au pointa- = 3c, soient des quantités y,/,, 



indépendantes de «>,. Puis je remplace le système (3) (loc. rit.) par le système 

 suivant : 



"»// _ V n,v, '^ 



':^ = y^^r;.^^ (v=., ....-/,-,,), + ., ...,a), 



da\ ^^ ' a\ — eu, 



(4) 



da\ ^^ "' ai — a 

 /' = ' 



(A^i = - (7„ ) - y (Hy^!)-' (0/^ '?') (l^y^). 



où les Y,A> r;.""sont des constantes d'intégration du système (3) (loc. cit.) .Te 

 considère ensuite les divers svstèmes d'intégrales du système différentiel (3) 

 {loc. cit.), correspondant à unsystème déterminé des constantes d'intégra- 

 tion cV^' (voir loc. cit.), et je montre que ces systèmes d'intégrales sont liés 

 entre eux par des transformations algébriques et biuniformes, semblables 

 aux transformations Cremona et formant un groupe T. Les fonctions 

 méroniorplies E\l' (loc. cit.) ne changent pas de valeur, si l'on applique les 

 transformations de T aux arguments de ces fonctions ; ce sont donc des 

 fonctions automorphes. Je donne d'une manière explicite les transforma- 

 tions fondamentales du groupe T, et j'établis qu'elles dépendent ralionnel- 



(') Comptes rendus, \.. liG, 20 janvier 1908, p. 106. Noir les équations (3) (/oc. c«7.). Je 

 conserverai ici les notations de cette Note. Le cas particulier de mon système différen- 

 tiel, correspondant à /i =; a, a été traité par M. Garnier dans sa remarquable Thèse 

 (Taris. 1911), à l'aide des métliodes de M. Painlevé, 



