■gSa ACADÉMIE DES SCIENCES. 



On voit tout desuileque cos transformalions t'orinenl un groupe (groupe 

 de Vollerra). Il y a dans ce groupe des transformalions infinitésimales. 

 Une telle transformation a la forme 



(?-) /,{^-)=r/(x)+ r l.{x,y)f{y)dy.ot, 



ot étant un facteur infinitésimal. Le but de cette Note est d'établir le fait 

 que chaque transformation du groupe de Volterra peut être engendrée (au sens 

 de M. Sophus Lie) par une transformation infinitésimale de ce groupe. 



La transformation infinitésimale (^2 ), appliquée coulinuellementpendant 

 l'intervalle de temps (o, ^), engendrera une transformation finie qu'on 

 peut écrire de la manière suivante 



/, (.r ) = /( X) + I 1-/ + ^ I. V' + • • ■ = c'V. 



où i,% it', . . . désignent les itérations de l'opération 



l,/= /' l,-(x,y)f{y)dy. 



11 s'agil pour nous de réduire la Lransforinalioii (r ) ou, symholitpKMuenl 

 écrit, la transformation 



à la forme 



(>') /i(^')=^«i'/. 



c'est-à-dire de résoudre l'équation symboli(|ue 



(,4;X)/=el,/, 

 par rapport à h. Nous trouvons 



i,/= iog(i + .'K )/= (;k _ 1^' + . . .)/. 

 Si Ton pose 



K,{x,y) = K{x,y) el h„(u;y)=J K(./-, ;)K„_, (;, j) </:, 



il viendra 



'ài'/=f K,.{x,y)/{y)dy, 



et 1 on aura 





