SEANCE DU 20 NOVr.MBRL: 19II. 997 



si les fonclitH)sy( r ) ont des modules bornés en un point inlérieur à D, ces 

 modules sont bornés dans tout domaine intérieur à D. Si est un cercle de 

 centre origine et de rayon R, les fonctions f{x) ont des modules qui, dans 



le cercle de rayon -■, restent inférieurs à un nombre M ne dépendant que 



de (l^,. Si l'on fixe la valeur de «„ et la valeur d'une dérivée de /(ic) à 

 l'origine ou la valeur de f(j^) en un point autre que l'origine, on obtient 

 une limite supérieure pourR. On reconnaît les théorèmes de MM. Landau, 

 Schottky, V. Lévy. 



.Une suite dénombrable de fonctions /(a;) ne peut converger dans un 

 domaine D sans converger uniformément (MM. Severini, Montel); la con- 

 vergence en une infinité de points ayant an moins un point limite intérieur 

 à D suffit à assurer la convergence dans tout le domaine (MM. Landau et 

 Carathéodory). 



'.i. Considérons maintenant une famille de fonctions /(j;) iiolomorplies 

 dans un domaine connexe D et supposons (juo le nombre des racines des 

 équations 



intérieures au domaine, demeure, pour toutes les fonctions /'(.r), inférieur 

 à un entier fixe p. Dans ces conditions : de toute suite infinie de fondions 

 /{^'), on peut extraire une suite nom'ellc convergeant uniformément dans D 

 vers une fonction limite finie ou convergeant uniformément vers l'infini en tous 

 les points intérieurs à D, sauf peut-être pour un nombre fini d'entre eux. ( les 

 points exceptionnels appartiennent à l'ensemble !•>, commun aux ensembles 

 dérivés des points racines des équations (a). Si les fonctions f{x) sont 

 bornées en un point de D n'appartenant pas à E, elles forment une famille de 

 fonctions également continues. Les remarques du n" I s'appliquent à celte 

 famille de fonctions. En particulier, si le domaine D est celui d'un cercle de 

 rayon R, et de centre origine, et si les racines des équations (y.) intérieures 



à D sont extérieures au cercle concentrique de rayon sR (£ < - j. il existe 



un nombre M dépendant de fl„, de p et de i seulement, tel que toutes les 

 fonctions f(x) aient leurs modules inférieurs à M dans le cercle de 



rayon • On peut alors énoncer des théorèmes semblables aux propositions 



connues dans le cas de /; = u ( ' ). 



(') Le lliéoième énoncé au détînt de ce par agiapiie penl s'éleiidre à une famille 

 de fonctions méromorplies dans D et ne prenant pas, plus de p fois, Irois valeurs 

 exceptionnelles. 



