Io6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



réciproque peut tomber en déf'aïU. La question se pose dès lors de 

 rechercher si elle est exacte quand la fonction des forces est holomorpiie 

 au voisinage de la position d'équilibre. J'ai réussi à le démontrer, en sup- 

 posant la position d'écjuilibre isolée et le mouvement plan ; je vais indiquer 

 rapidement ici la méthode suivie. 



j. Nous prenons pour origine O la position d'équilibre; la fonction des 

 forces I J (a-, y) est holomorphe au voisinage de O et n'est pas maximum en 

 ce point. î^a courbe U ^ o admet O comme point multiple, sans avoir de 

 branche réelle multiple passant en ce point. 



Nous devons établir cjue le mobile M sort d'une région p donnée (suffi- 

 samment petite) entourant O, si les conditions initiales sont choisies con- 

 venablenieut sous la seule restriction de |)ouvoir être aussi voisines qu'on 

 voudra du repos en O. Nous montrerons pour cela qu'une certaine ligne 

 variable 1^ passant par M va sans cesse en s'éloignant de O ; on écarte aisé- 

 ment l'iiypothèse où L tendrait vers une position limite, L doit donc sortir 

 entièrement au bout d'un temps fini de la région p, où M ne peut, par 

 suite, rester indéfiniment. 



2. Indiquons \a conslrucùon de la ligne L. Les axes étant choisis distincts 

 des tangentes au point multiple, nous traçons tout d'abord : 



i" Les branches réelles de Ll = o issues de ce point, en considérant 

 comme branches distinctes deux parties de la courbe correspondant à un 

 même développement y = /"(,/•), mais situées de part et d'autre de (Jj. 



2° Des courbes correspondant aux branches imaginaires de U = o de la 

 façon que voici : soit y = -(o„ -f- ?7»„) v'.-r" le développement correspondant 

 à une branche imaginaire; x étant positif nous supposons que le radical a 

 sa détermination arithmétique, en choisissant convenablement a„ et 6„; 

 nous écrivons 



en posant 



g{.v) = laj{.:^ el li{x) — lb„'^, 



et nous traçons la courbe >- = g (.r). Des conventions analogues sont faites 

 pour.r<]o. Appelons (C) les courbes ainsi tracées; si elles sont tangentes 

 à une même droite D, nous leur adjoignons une autre droite coupant D enO 

 qui nous donne ainsi deux nouvelles lignes (C). 



En tournant autour de O on rencontre les courbes (C) dans un ordre 

 bien déterminé; appelons onglet la partie du plan voisine de O, analogue à 

 un angle, comprise entre deux lignes (C) consécutives. 



