SEANCE DU 27 inOVEMBRE 1911. Io65 



leur que dans les questions d'électricité. Mais, dans ces applications, on se 

 iieurtc fréquemment à la difficulté suivante : la série, bien qu'égale dans 

 tout rintervalle à la fonction donnée, en diffère aux extrémités. 



Cette imperfection, au point de vue purement mathématique, parait 

 petite, puisque sur le nombre infini de points, dont l'ensemble continu 

 forme l'intervalle, il n'y en a que deux pour lesquels le développement est 

 en défaut ; mais elle suffit à rendre ce même développement inutilisable 

 dans bien des cas. (^uand on étudie, par exemple, le fonctionnement des 

 lignes électriques, une divergence de cette sorte entre les valeurs de la série 

 aux extrémités de l'intervalle et celles qui sont fixées par les conditions 

 initiales fait apparaître des discontinuités fictives, dont la propagation ne 

 correspond à l'existence d'aucune onde réelle; les résultats du calcul sont 

 ainsi gravement faussés. Il est aisé de vérifier que, malheureusement, les 

 formules classiques de développement présentent presque toujours l'incon- 

 vénient que nous venons de signaler. 



En particulier, il en est ainsi de la formule bien connue de Cauchy 



'''0 



où la sommation est étendue à toutes les racines de l'équation 7:(:;) = o. (3n 

 sait que, pour obtenir l'égalité (S), on suppose quey'(,z-) satisfasse aux 

 conditions de Dirichlet, que ir (3) et ^(g) soient des fonctions entières, et 

 t[ue les deux quantités 



:lx^x„) . 



(3rre-^ 



-z(.r-J- ) 



7:(.)' 



_•£(-£) 



tendent vers zéro, cpiand ;cioit indéfiniment, sa partie réelle étant positive 

 et a- restant compris entre x-g et x^ ; or la réalisation de cette dernière con- 

 dition n'est pas possible cjuelle que soit la grandeur de l'intervalle (x„, x,) 

 et l'on peut trouver un intervalle (a, b), que nous appellerons intervalle 

 limite, telle que a si l'on fait x = ./;, et ji si l'on fait x = Xg tendent respecti- 

 vement, dans les mêmes conditions que plus haut, vers deux quantités / et L, 

 différentes de zéro. Dans ces conditions, on vérifie que les valeurs du second 

 membre de la formule (S) sont, pour x = a, 



