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GÉOMÉTRIE li\FlNITÉSlMA.LE. — Sur les réseaux U. 

 Note de M. TziTZKicA. 



J'ai désigné sous ce nom les réseaux conjugués dont les tangentes forment 

 des congruences W. Ces réseaux, mentionnés pour la première fois par 

 M.Demoulindanssonllapport stir le travail couronné de M. ^\ilczynski, ont 

 été retrouvés par nous comme application naturelle d'un théorème fonda- 

 mental de M. Darboux. C'est toujours à ce point de vue que nous nous pla- 

 çons dans ce qui suit, pour trouver des transformations desjréseaux R, ou 

 plutôt des congruences W formées par les tangentes de ces réseaux. 



T. Soit (,r) le réseau conjugué à invariants égaux, image d'une telle con- 

 gruence ^^' sur la variété (juadraticjue F à 4 dimensions de l'espace linéaire 

 S5 et que, pour simplifier, nous représentons par 



(F) 2x;=o {/=..3 (3). 



On peut évidemment supposer que les coordonnées .r^(i^ i,2,...Ç6) 

 du point X qui décrit le réseau, exjirimées en fonctions des paramètres u et 

 X qui correspondent aux courbes conjuguées du réseau, vérifientunsystème 

 de la forme 



0(1 f)v air dv' du- (/(•- du di- 



Réciproquement, si les conditions d'intégrabilité, que j'appelle (1), sont 

 satisfaites, le système (i) admet 6 solutions linéairement indépendantes. 

 Par le fait que le réseau (x) est situé sur F, on a aussi la relation ( F). Il en 

 résulte des relations entre les coefficients de (i ), que je nomme (IF), une 

 desquelles est, par exemple, 



A4-B = o. 



Considérons maintenant une congruence (xx') conjuguée, au sens de 

 M. Guichard, au réseau (./). On sait de quelle manière on obtient une 

 lellc congruence. ( )n détermine d'abord le foyer r par les formules 



, , à y d'j. dr àx 



au du dr ' de 



1',- correspondant à ,/•, et a étant une solution quelconque de la première 

 équation de ( i) ; les jk, ne sont déterminées qu'à des constantes addi- 



C. R., 1911, - Semestre. j(T. 153, N- 23.) l4*^ 



