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réelle, positive el simple. Il existe une fonction ^LiO-jX/, à coefficients > o, et 

 une seule à un facteur constant près, que (a) multiplie par cette racine carac- 

 téristique, lu cette fonction est, à un fadeur constant près, la seule fonction 

 ^iOL/X,, à coefficients ]> o, que (a) multiplie par une constante. 



2. Faisant une généralisation parliellemenl indiquée par M. Frobcnius, 

 j'ai montré, par continuité, que, si les coefficients de («) sont seulement 

 supposés î: o, la racine caracléristique de module maximum de (a) est réelle et 

 non négative, et qu'il existe au moins une fonction 'ï^iO-i-Vi, à coefficients o 

 et non tous nuls, que { a) multiplie par cette racine caractéristique. 



3. Continuant l'étude de ce cas plus |j;énéral, j'ai montré que, si r désigne 

 cette racine caractéristique de module maximum, et n — y le rang de la 

 matrice des coefficients du système 



r y., — i/, ai,i 5!/, = o {i, f, z^ i n). 



il y a an plus q fo/ictions distinctes 1, a, r,, à coefficients ^o et non tous nuls, 

 que (a) multiplie par rq. 



J'ai moniré ensuite, par ra[iplicalion d'un théorème dû à Minkowsi'Li 

 (Géométrie der Zalden, p. 3()-45) que, dans i une au moins de ces fonctions, 

 q — I au moins des coefficients a sont nuls, les autres étant > o, et (ju'rt/o/-.? 

 (rt) transforme les rariahles x correspondant aux coefficients "^ o en des 

 fonctions linéaires de ces seules inriahles. J'en conclus que, si (a) transforme 

 certaines des variables x en des fonctions linéaires de ces seules variables ( ' ), 

 opérant ainsi une substitution que l'on peut désigner par Ça) t, 5/r, est la racine 

 caractéristique de module maximum de (a)^, il existe au moins une fonction 

 linéaire des seules variables de (a),, à coefficients -" o et non tous nuls, que (a ) 

 multiplie par r^. I'>nfin, s'il existe une fonction linéaire des variables de (a),, 

 à coefficients > o, que (a) multiplie par une constante, cette constante ne peut 

 être que r,. 



3. Il résulte de ces théorèmes que /e jj'^/e'me 



(') , , ^ o . {i.f>=i, ...,n; / = . p), 



I (2) a,>o, ,3/io 



dans lequel les coefficients a et b sont ^o, admet des solutions seulement, et, 

 SI la matrice \ a^^ | n 'est pas partiellement réduite, toujours, si le paramètre s 



(') Je ilir.ii. dans ce cas, que la matrice | rt,/ | ti\. par tiettc ment réduite. 



