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publiées. Nous nous attacherons plus particulièrement, dans cette analyse, 

 aux développements inédits. 



Dans la première Section, l'auteur s'est proposé de faire connaître diverses 

 propriétés caractéristiques des familles de Lamé, c'est-à-dire de ces familles 

 de surfaces qui peuvent faire partie d'un système triple orthogonal. Parmi 

 ces propriétés, nous avons remarqué plus particulièrement la suivante : 



Étant donnée une surface quelconque, M. Demoulin associe à chaque 

 ligne de courbure un élément géométrique nouveau : c'est la sphère, à 

 laquelle il donne le nom de sphère de courbure géodésique , qui a son centre 

 dans le plan tangent à la surface et contient le cercle osculateur de la ligne 

 de courbure. Gomme celte sphère que nous désignons par S,; coupe la sur- 

 face à angle droit, il est clair que sa définition est anallagmatique, c'est- 

 à-dire qu'elle subsiste quand on soumet la surface à une inversion. 



Cela posé, M. Demoulin démontre le théorème suivant : 



Considérons une surface variable (A) et les d-nix sphères de courbure 

 géodésique S,;, S^.. relatives aux deux lignes de courbure qui se croisent en 

 un point (juelconque M de (A). Pour que la surface variable (A) engendre 

 une famille de Lamé, il faut et il suffit i\n\\ existe un seul déplacement du 

 point M, extérieur à (A), dans lequel le cercle caractéristique de Sp., c'est- 

 à-dire l'intersection de cette sphère avec sa position infiniment voisine, soit 

 orthogonal à S^.. 



Il est clair que, dans cet énoncé, on pourrait intervertir S,., et Sp,. ( ' ). 



Parmi les conséquences que l'auteur déduit de ses considérations relatives 

 aux propriétés caractéristiques des familles de Lamé, nous signalerons la 

 suivante qu'il obtient par une ingénieuse démonstration géométrique : 



De toute surface qui, par translation, engendre une famille de Lamé, on 

 peut déduire, en effectuant de simples quadratures, une surface qui, par 

 rotation, engendre une famille de Lamé et vice versa. 



(') La proposilion de M. Demoulin |)eul être ratUicliée à une nolion plus i^énéraie. 

 Élaiit donné un complexe (G) de sptières S, c'esl-à-dire un ensemble de sphères 

 dépendant de trois paramètres, il y a toujours une sphère S' orthogonale à chaque 

 sphère S et à toutes les sphères infiniment voisines du complexe (G). 



Les sphères S', dépendant en général de trois paramètres, forment un second com- 

 plexe (G') (jue nous dirons conjugué au premier. 



On reconnaît aisément que la relation entre les deux complexes est réciproque. 



Cehi posé, la proposilion énoncée par M. Demoulin se ramène à la suivante : 



Pourque la surface (A) engendre une fimille de Lamé, il faut et il suffit que les 

 sphères de courbure géodésique, associées aux deux systèmes de courbure, engendrent 

 respectivement ileux complexes conjugués. 



