SÉANCE DU l8 DÉCEMBRE 191I. 1277 



La Section III est consacrée à Télude d'un curieux théorème donné 

 on I iS()r) par Riliaucour. 



Uonnons-nous un système triple orliiogonal (M) décrit par un point M. 

 Ribaucour a montré qu'on peut déterminer les rayons de trois sphères S, 

 S,, Sj assujetties à être tangentes en M respectivement aux trois surfaces 

 coordonnées du système qui sec roisent en ce point, de telle manière que le 

 second point d'intersection M' de ces trois sphères décrive un système triple 

 orthogonal (M) correspondant au premier, les trois surfaces de ce système 

 qui [lassent en M' étant tangentes respectivement aux trois sphères S, 

 S,,Sa. L'étude que fait M. Demoulin de ce théorème est une excellente 

 préparation pour la solution du problème qui sera abordé dans la Section V 

 et dont nous parlerons plus loin. 



Dans la Section IV, M. Demoulin expose une théorie qui lui appartient 

 plus spécialement. De même qu'on peut rapporter une figure à un système 

 d'axes mobiles en coordonnées cartésiennes, de même en coordonnées 

 pentasphériques, on peut la rapportera un système formé de cinq sphères 

 mobiles, deux à deux orthogonales. Cette extension de la théorie du trièdre 

 mobile, qui peut être appliquée à bien d'autres questions, est féconde; elle 

 a déjà donné, entre les mains de l'auteur, d'importants résultats. Nous 

 signalerons, parmi les applications de ce Chapitre, la détermination des 

 familles de Lamé formées de cyclides de Dupin et l'étude de différentes 

 familles de Lamé composées de surfaces qui se correspondent dans des trans- 

 formations conformes. Au lieu d'analyser en détail toutes ces recherches, 

 nous nous attacherons surtout à la Section V, où se trouve abordé et presque 

 complètement résolu un problème difficile dont voici l'énoncé : 



Combescure nous a appris le premier qu'à tout système triple (M) décrit 

 par un point M on peut, en intégrant trois équations linéaires aux dérivées 

 partielles du second ordre à trois variables indépendantes, faire corres- 

 pondre une infinité de systèmes triples (M') décrits par un point M'et tels 

 qu'aux points M, M' les plans tangents à deux surfaces coordonn(''es corres- 

 pondantes des deux systèmes soient parallèles. Quand on a obtenu deux tels 

 systèmes, on sait qu'en divisant la droite MM' dans un rapport constant au 

 point M", le point M" décrit également un système triple (M") correspon- 

 dant aux deux précédents avec parallélisme des plans tangents. Ainsi la 

 droite MM' contient une injinilè de points décrivant des systèmes triples 

 dans lesquels les surfaces coordonnées se correspondent. Une propriété 

 analogue se rencontre dans les transformations de Ribaucour, dont nous 

 avons parlé plus haut. Comme votre rapporteur l'a démontré, il y a 



