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longtemps, la droite MM', qui réunit les deux points homologues des sys- 

 tèmes triples associés l'un à l'autre par cette transformation, contient deux 

 séries distinctes de points décrivant des systèmes triples se correspondant 

 mutuellement et correspondant aux systèmes (M), (M') décrits par les 

 points M, M'. 



Cela a conduit M. Demoulin à se proposer le difficile problème suivant : 



Déterminer tous les complexes de droites tels que, sur cliaque droite, on 

 puisse déterminer une infinité de points décrivant des systèmes triples 

 orthogonaux qui se correspondent. 



En général, étant donnés deux systèmes triples cjuelconques (M), (M'), 

 entre lesquels on a établi une correspondance, la droite MM' ne contient 

 que les deux points M, M', qui décrivent des systèmes triples correspondants; 

 il s'agit de déterminer tous les cas dans lesquels il y a une infinité d'autres 

 points jouissant des propriétés requises. 



La mise en œuvre de ce problèuie conduit à la recherche de la solution 

 commune à trois équations aux dérivées partielles du premier ordre, 

 auxquelles doit satisfaire une fonction X. 



Ces équations sont de la forme 



(^ + ^') (ê ^ „,)+,„,>=+ ,,,^ +/,,.::^0, 



OÙ i,j, k doivent recevoir les valeurs o, i , 2. 



M. Demoulin aborde dans toute sa généralité la solution de ce problème 

 d'analyse. Il est ainsi conduit à des résultats très étendus, qui épuisent 

 presque entièrement la solution de ce problème nouveau et ardu. 



Le Mémoire contient beaucoup d'autres recherches relatives à différentes 

 questions, qui, dans ces derniers temps, ont fait l'objet d'études variées: 

 par exemple, aux surfaces qui engendrent une famille de Lamé dans un ou 

 plusieurs mouvements hélicoïdaux; mais nous en avons assez dit pour 

 montrer tout l'intérêt du grand Mémoire de M. Demoi'mx et justifier les 

 conclusions de la Commission, qui propose de lui accorder le prix Bordin. 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptées par l'Académie. 



