SÉANCE DU 2.6 DÉCEMBRE 191I. iM? 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les jwUons : droites parallèles et Irctnslation 

 et sur la géométrie différentielle dans l'espace non Euclidien. Note de 

 M. G. PicK. 



Parmi les mouvenienls infinitésimaux non Euclidiens (') (collinéations 

 infinitésimales d'une surface non dégénérée du second ordre) il y en a qui 

 laissent en repos chaque droite d'une congruence linéaire. Nous appelle- 

 rons ces mouvements n.-lv translations {infiriitésimales) n.-E. Soit 



x\ -^ x\ -\- x\ -\- x\ ^ o 



la surface donnée; le groupe des mouvements n.-E. appartenante la surface 

 est engendré par les six transformations infinitésimales 



df df 



Un £H Xi -T Xi, -—- 



iiXf, dx, 



selon les significations de Lie. Les translations n.-E. se divisent en deux 

 parties, c'est-à-dire 



(1) Cf., {11, . — II,.,) -\-Ct,{ll,. — ":,,)4- xA/'m— "li) 



et 



(1') «,((/,.,+ 11.2^) -f-«,{(/.4M- //31) + a:i("r.— "12 )■ 



Les équations des congruences linéaires correspondantes sont respec- 

 tivement 



(2) Pr, — Prr.JJn — Pst :/':ii — /'i2= «1 : «2: «3 



et 



(2') pv.-i- pn : Pr. + p^< : Pii-i- Pi'.— of-i : «,:«:„ 



où fj,, sont les coordonnées habituelles de Pliicker. Les lignes focales 

 de (2) appartiennent à une certaine des deux séries de droites de la surface 

 fondamentale, celles de la (2') à l'autre. Occupons-nous de(i) et (2), le 

 même raisonnement étant valable pour (i') et (2'). 



Nous dirons parallèles n.-E. toutes les droites appartenant à la même 



(') Abrégé ci-dessous en : n.-E. 



