SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE 1911. l45l 



en désignant par .x- une variable auxiliaire- et par k une quantité indépen- 

 dante des fl,. Cela étant, je montre que les Ay sont donnés par les formules 





Q(a;) désignant le polynôme x^"'^- + 2.'^i^' ^" ^^•^ "^z '^""^ ^'^^■' constantes 



d'intégration du syslème (3). Les combinaisons symétriques des Ày, et, par 

 suite, les expressions A"!., (A,»)"' sont donc des fonctions hypere/liptiqi/es 

 de genre /î des arguments t,, ..., t„. Puis, à l'aide de la formule d'interpo- 

 lation de Lagrange appliquée aux polynômes w(x) et yX^e), j'exprime les 

 coefficients de ces polynômes ainsi que le produit Ao, A,, comme fonctions 



rationnelles symétriques des Xy et de leurs dérivées -t-^ par rapport à lun 



des /, : ces coefficients sont donc aussi des fonctions hyperelliptiques des t^. 

 Enfin je montre qu'on a 



n 



1 = 1 



Il résulte de (4) que le second membre de (5) est égal à la somme de 

 n expressions w ['kj, \/QÇkj)\ (7 = 1,2,..., n) obtenues en remplaçant res- 

 pectivement a? par Xy dans une intégrale de troisième espèce «'[a;, \/Q(a-")J 

 attachée à la surface de Riemann j^^ = Q(x) et présentant les. points à l'in- 

 fini comme points logarithmiques avec ± 2-1 comme périodes polaires 

 correspondantes. La fonction A ^ (/,), et, par suite, les A'J, sont donc des 

 fonctions (hyperelliptiques) à multiplicateurs constants ( '); les A^j sont des 

 fonctions aux multiplicateurs inverses; enfin les A\^ et les A^^ sont des fonc- 

 tions hyperelliptiques (ordinaires). 



3. Dans une Note récente (-), M. Schlesinger a remplacé le système (2) 

 par un autre équivalent (S), de forme plus simple. Ce dernier système 

 admet également un simplifié (.y) correspondant à (3),etqu'on déduit de(S) 

 en remplaçant AJ^ par £~' AJ,, /, par a, + £/, et en faisant tendre z vers 



(') Cf. P. AppELL (Mém. couronné), Acta math., I. XIII. 



(*) Comptes rendus, t. 15.3, p. gSo. Le système (S) est constilué pai les équa- 

 tions (4) de M. Schlesinger. 



C. R., 191 1, 2- Semestre. (T. 153. N» 26.) 19^ 



