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zéro. Je montre que, pour m = 2, les fonctions B^^ {^loc. cit.) qui consti- 

 tuent l'intégrale générale de (s) sont encore des fonctions à multiplicateurs 

 constants des arguments /, , ...,/„. 



ANALYSE MATHÉMAllQUE. — Sur une classe de transformations infinitésimales 

 de l'espace fonctionnel. Note (') de M. G. Kowalewski, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Il s'agit de l'espace fonctionnel R^, l'ensemble des fonctions réelles et 

 continues dans un intervalle (0,1). /(a?) étant une telle fonction, nous 

 formons avec M. Erhard Schmidt(-) les expressions 



Â„(/) = «o(.r), A,(/) = a,(,r)/(.r)-4-/^ P, (-r, /)/( r) r//, 



A2(/)^«,(.r)/Mjr)+/(.r) C ^^{x, Y)f(y) dy + f ■/,{->', Y)/' {y) dy 



+ f f e,{x,y, z)f(y)/iz]dydz, 



que nous appelons formes fonctionnelles d'ordre o, i, 2, Les a, [iJ, ... sont 



réelles et continues dans le domaine o^x, y, z, ... 5i. 

 a„, a,, a,, ... désignant les maxima des fonctions 



a„|, |«,|+ r ip.lr^y. \oc,\+ f \Mdy+ f \-/.\dy+ f f \E,\dydz, ..., 



si la série entière ag-ha^z -\- a.,z- -h ... a son rayon de convergence p diffé- 

 rent de zéro, nous dirons que la série fonctionnelle 



f (/) = A.„(/) + A, {/, - A,(/) + . . . 



est régulière. Elle convergera absolument et uniformément pour chaque 

 fonction f(x), qui vérifie dans l'intervalle (o, i) l'inégalité [/^(î")! <C P- 



Quand on écrit f (x) -h (^ (x) au lieu de f(x), en supposant 

 \f(x-)\ -\-\o(x)\<^ p, il sera permis d'ordonner P(^f-\-o) suivant les 

 dimensions de f. Les membres de première dimension forment alors la 

 différentielle dP (/) = P (/, (p ) de P(/), et si l'on pose dP(f, 9 ) = P (/, cp, ç), 



(') Présentée dans la séance du 11 décembre 191 1. 



(^) Matliematische Annalen, Hd. LXV. Les séries P(/) sont les I ntegralpotenz- 

 reihen de M. E. Schmidt. 



