SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE 191I. l453 



<fP(/, cp, ^) = P('/, cp, o, o ), etc., on aura 



la série de Taylor. 



Gela posé considérons l'opération 



d/r=P{f)dt, 



ot étant un facteur infinitésimal et P(/) une série fonctionnelle régulière. 

 J'appelle cette opération une transformation infinitésimale régulière de 

 l'espace fonctionnel R^. et je la représente par le syuiljole P(/). Dans un 

 Mémoire présenté à l'Académie de Vienne le 3 novembre 191 1 j'ai montré 

 comment on peut appliquer à ces transformations les idées de Sophus Lie. 

 Un ensemble de transformations infinitésimales régulières constitue un 

 groupe, lorsqu'il remplit les conditions suivantes. En prenant deux trans- 

 formations quelconques de l'ensemble, P,(y) et V.,{f), les transforma- 

 tions ( ' ) 



«,P, (/) + «.?.(/) 

 et (M 



(P„P,) = F,[/,P,(/)] -!',[/, P.(/)] 



font toujours partie du même ensemble. 



Quand on cberche toutes les transformations infinitésimales P(/), qui 

 n'altèrent pas les distances dans l'espace fonctionnel R^,, on trouve 



^0 



(«) P{/) = «(a-)+/ (3(.r,r)/(„r)f(r 



où [3 (a?, y) doit vérifier la condition 



(■i) (3(^,j)-+-i3(/,.^)-o. 



Ces transformations forment un groupe dans le sens défini ci-devant 

 (le groupe des mouvements de l'espace R^;). 



La transformation infinitésimale P(y) conservera alors et seulement 

 alors les angles dans l'espace R^., lorsqu'elle a la forme 



(3) P(/) = ^(,^) + c/(a.)+r (^{x,y)f{y)dy 



+ ^f{x)f 7{y}A.y)df-y{,i-)fr(y)dy, 



(') «,, a.2 sont des conslanles. 



(-) La signification du symbole P(/, o) a été expliquée plus haut. 



