SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE IQII. l455 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Viiidétprmination d'une fonction uniforme 

 dans le imxinage de ses points essentiels. Note de M. P. Moxtei,, présentée 

 par M. Emile Picard. 



1. J'ai énoncé récemment (Comptes rendus, 20 novembre 191 1) la propo- 

 sition suivante: les fonctions /(x'), holomorphes dans un domaine connexe 

 1) où elles ne prennent ni la valeur o ni la valeur i, forment une famille 

 normale. Si, en un point P intérieur au domaine D, les modules de ces 

 fonctions demeurent inférieurs à un nombre fixé a, dans tout domaine D' 

 intérieur à D, les modules de toutes les fonctions de la famille sont infé- 

 rieurs à un nombre M (a) ne dépendant que de a lorsque D et D' sont 

 déterminés; D' peut d'ailleurs se réduire à une ligne. Soit A un domaine 

 dont on peut faire la représentation conforme sur D : au point P et au do- 

 maine D' correspondent un point II et un domaine A' intérieurs à A. Le 

 nombre M (a) est le même pour P, D, D' et pour H, A, A'. On peut rem- 

 placer dans ce qui précède le point P par une courbe tout entière à l'inté- 

 rieur de D et telle que, en un point au moins de cette courbe, le module de 

 chaque fonction /"(x") soit inférieur à a. Voici quelques applications de ces 

 remarques. 



2. Considérons toutes les fonctions /"(a?) uniformes, régulières et dille- 

 rentes de o et de i dans l'anneau compris entre les cercles de centre O et de 



rayon — et 2R, et supposons que ces fonctions prennent au point P(OP = R) 



des valeurs dont le module ne dépasse pas a. Sur la circonférence de centre 

 O et de rayon R, les modules de toutes les fonctions/(.r) restent inférieurs 



à un nombre M (a), indépendant de R, puisque le changement de x- en t- 



permet de passer du cas de OP = R à celui de OP = i. 



On déduit de là une démonstration particulièrement simple du théorème 

 de M. Picard sur l'indétermination d'une fonction uniforme autour d'un 

 point essentiel isolé, démonstration qui est à rapprocher de celle de 

 M. Lindelôf (Compte rendu du Congres de Stockholm, 1909). Soit O un 

 point essentiel isolé de la fonction y( a?) ; supposons que la fonction /(.r) 

 soit régulière et ne prenne ni la valeur o ni la valeur i dans le voisinage du 

 point O. Il existe une infinité de points P,, Po, ..., P^^, ..., ayant pour 

 unique point limite le point O et tels que, en ces points, le module de/(x) 

 ne dépasse pas a. La fonction /(a;) a donc un module inférieur à M(a) sur 



