SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE I9II. l457 



Nous supposons qu'il n'existe qu'une seule fonction o correspondant 

 à A. Alors il existe une fonction j/ et une seule telle que 





N(,x, .^■)|(y)^/• 



Donnons à «, 6, et N(ii7, y) des variations Sa, S/>, f5N (a;, j) ; il en 

 résulte pour A et 9(^7) des variations Kk et oofa-), et l'on a 



âcp(„ 



^ n 



Sco(a:) étant facile à calculer. Ainsi op est donné par une équation de 

 Fredholm, mais dans le cas singulier. Il faut donc, pour qu'il y ait une 



solution, que / '.}/(*:) oco(a^)(/.c = o, ce qui donne 



Kt.Ç 'S){x)'\{x)dx+1} Ç f oN(.i-,j-)'|(.r)9(j)rf.crfr 



-+-'fiob(ii)(b)<]i{b) — >. oa 9(«)4>(n) = 0, 



cç> sera ensuite donné par l'équation, mais il contiendra une arbitraire qui 

 sera 01^9(0;), oK étant une fonction quelconque, infiniment petite avec àa, 

 oh, SN. ' 



2° Soit un nombre A et un couple de fonctions 9(^7) et '\i(-'r), telles que 



■y{x)—}.f î^{:v,y)'\i{Y)dy et '\,{x)-=lf ^{y. x) r^(y) dy. 



'-Il *' Il 



Supposons que o et '.{; soient le seul couple de fondions satisfaisant à ces 

 équations. On trouve 



6 o(x) — l I N(.r, jK) ô<|(j) dy + y_{x) 



et 



o<\i{x) = l / ^•i{y, X) ^{y) dy + u,(x); 



0/ et oco sont faciles à calculer. Un calcul simple montre qu'on doit 

 avoir 



J(f{x)ô-/{x)dx-\-l <ii{x) S m{x) dx ^o, 



