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GÉOMÉTRIE. — Sur les sur/aces algébriques admettant une série discontinue 

 de transformations bi rationnelles. Noie de M. Uosenblatt, présentée 

 par M. Emile Picard. 



C'est à M. Humbert qu'on doit le premier exemple effectif de surfaces 

 algébriques, admettant une série discontinue de transformations biration- 

 uelles (certaines surfaces de Kummer). Peu après, M. Painlevé a donné un 

 exemple plus simple. 



L'étude de ces surfaces a été l'objet de travaux très remarquables de 

 MM. Enriques et Severi. On doit au premier un théorème général, con- 

 cernant l'existence de faisceaux de courbes elliptiques sur lesdites surfaces, 

 tandis que M. Severi nous fait connaître le lien intime, qui existe entre les 

 surfaces régulières de ce genre et la théorie arithmétique des formes qua- 

 dratiques. 



En poursuivant cette étude, dont j'espère pouvoir bientôt publier les 

 résultats, j'ai été amené à construire une surface simple irrégulière, pos- 

 sédant des transformations birationnelles en elle-même, tandis que les 

 surfaces étudiées jusqu'ici sont régulières. 



La surface 



possède le faisceau elliptique de courbes elliptiques 



(^, yj, paramètres du faisceau). 



Le théorème de Castelnuovo-Enriques (Annali di Mat., 1901) donne 

 alorsjDa = o, donc on a/j^=i. Le faisceau elliptique représente donc les 

 courbes paracanoniques . 



Les deux droites doubles 



X =z o, )' ± iz ^= o 



découpent sur chaque courbe du faisceau les deux zéros m,, «2 de la fonction 

 p{u) correspondante. Comme les multiples de ces points ne sont pas équi- 

 valents, on a d'après un procédé général de M. Enriques (Rend, dei Lincei, 

 1906), en posant 



P ^ M + «1 — U^-^ Il -\- lUi^^ U — 2W2, 



une transformation birationnelle non cyclique de la courbe, donc aussi 



