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degrés marqués par l'indice, dans chacun desquels le coefficient de la plus 

 haute puissance de x est égal à l'unité. Supposons que, x désignant une 

 variable complexe, les racines du polynôme P„(x) soient, quel que soit ra, 

 dans l'intérieur d'un cercle fixe de centre O et de rayon H. Soit d'autre 

 part /(x) une fonction d'une variable complexe x, régulière à l'extérieur 

 du cercle \x\ = II, c'est-à-dire développahle, en dehors de ce cercle, en une 



série de la forme 



f(x) = Cf) + ^ + ^+...4--^ 

 J v X ■!•' x' 



Le problème est de développer f(x) sous la forme suivante : 



les A„ étant des coefficients indépendants de x. En se plaçant à un point de 

 vue formel, on peut calculer ces coefficients par le procédé suivant : 



La fonction v^-j — - est, à l'extérieur du cercle \x\ = II, développahle en 

 série de la forme 



avec «„,„= i. En admettant que le développement (i) soit possible, à l'exté- 

 rieur d'un cercle de rayon R'^R, la différence 



(2) A„-/(^)-A -p-i 



A 



l'7['') \'n{-r)' 



est telle que Wm.r" f(x) = o pour x — ■*.; le développement de A n en série 

 commence donc par le terme en -^—;' ce que nous écrirons, suivant une 

 notation habituelle dans la théorie des fractions continues, 



(3) A„= 



Mais alors cette condition donne immédiatement les équations suivantes 



A — C„, A, = c,, 



A,a, i2 -+- A 2 = c%. 

 ! A,«,. :i -t- A, a,. :i -^-A x — <;•;,, 



A, «,.„-+- A,a îa + . . .-r A „_!«„_,.„-)- A„— c„, 



qui déterminent de proche en proche les coefficients À„. 



