SÉANCE DU 7 JUILLET IC)I.3. 29 



morphe de a; pour <t<aeS.$. Supposons cette condition remplie. Ecrivons 

 les développements en polynômes de Taylor 



J/(j.') = a -h .vf(.i-), /i(.r) =r A„-h x g(x), K(.r. s ) = h (s) -h x H(x. s), 



et appelons X (x, s, A), D(A) la résolvante et la déterminante du noyau 

 H (a?, s) dans le champ (a-(3). Pour que l'équation (2) admette une 

 solution 'C(x) holomorplie, il faut et il suffit (voir E. Picard, Annales de 

 V École Normale , 1911, et Ch. Plâtrier, Comptes rendus, t. 156, p. 182 ">i 

 que : 



(3) 



«0 + > i 



-.{s, l)f(s)ds 



1 + A 



J Cl. s', A)£-(i)rf« =0, 



en appelant c(s, A) la fonction 



-■(.v./.) i>„(5) + A/ 6„(f)3e(f, s, A)rf5. 



•■a 



De plus, les équations (2) et (3 ) déterminent a„ et '£(#). De là la con- 

 clusion suivante : Si Ton exclut les valeurs particulières de A qui annulent 

 les fonctions entières de A, 



IX) 1 et 



\ 



A(A) = D(? . -1 -+- >. 



■ « J 



la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) admette une 

 solution o(x') dont le point x = o soit un pôle simple est que h(x) soit 



liolomorphe pour 



y. f<3. 



2. Nous sommes naturellement conduit à rechercher si l'équation 



(4) .,■>■ ■,<.() =-l(.i-) + l j K(x,s)<D(s)ds, 



où p entier positif admettra une solution o(r ) dont le point x = o sera Gifl 

 pôle d'ordre p — <y, quand on suppose lesyo — a fonctions 



" P K.(.z, s) 



//i, i x 





(5 



/'-'/ — ') 



holomorphes pour «.'. r [3. Dans ces hypothèses, écrivons les développe- 



