3o ACADÉMIE DES SCIENCES, 



ments en polynômes de Taylor, 



(■">) .n' »(«) = .r'/ 3( „-f-.r'7+ 1 a 1 + . . . + ajP- , « p _ ï _ 1 + ,r/> Ç(a?)i 



■l/Ur) = <i H- j?<7, H-. . . -H .r''-'rt /) _ 1 4- .ri' f(x), 



A p _,_e(.r) — «■> -h./V; -H. . . + .r''- 1 «^_, -+- je? g(x) (6 — q,q + i p — r), 



k(.?\ ^) = *„(.?) +'a;6,(s) -*-.._.+ ./•''' />,,_,(.<) -+- .r/' H(.r, s). 



Nous devons chercher les solutions holomorphes de l'équation en '!(■'') 



(6) xP r(^) = 'i(.r)-t-a„[>,/( p _ 7 _, (.,) — .r'/| -+- y, | >. / t/] _,,_, ( , r ) — . r »-n ] + ... 

 -+-*,,_,,_, [/./<„(.r) -./•"-'] + /. / K( J -,.v)r(5)rfs-. 



Ce problème est équivalent (voir Gh. Plâtrier, Note déjà citée) à la réso- 

 lution du système d'équations en '£(.r ), x , a,, . . ., «.p^_,, formé par | G) et 

 par les/) équations 



(;) a /, /n (/.)4-a 1 /, 7 TT îrT (/.) +...+ «/,_,_, Ij^ijsO^ — m^'X) (si = o /< — i ), 



où les fonctions entières de A /,-,- (X) et m CT (X ) sont définies par les égalités 



- r' 



C„(»,Â) = 6 w (*)-4-A / Ô„(/) »(*,», /)'/'. 



m m (k)= — D(y) \a u + l j c n (*, l)f(s)ds I , 



«i/(À)= D(J 



lid^)= — D(X) + À«,,(X) et /,,("/.) = '/ //.,i'/.) pour / . /. 



A toute solution a , a,, ..., a /J _ ? _, du système (7) correspond une fonction 

 holomorphe £( .r) et une seule et, par suite, une fonction méromorphe 5>(a?) 

 et une seule. La recherche de ces dernières fonctions est donc ramenée à la 

 discussion du système d'équations linéaires (7). Nous en déduirons en par- 

 ticulier les deux conclusions suivantes : 1" Supposons q == o et appelons 

 A(X) le déterminant des coefficients des p inconnues dans les/; équa- 

 tions (7). Si l'on exclut les valeurs particulières de X qui annulent les 



fonctions entières de XD(X) et A(X) et si les p fonctions h ( .r), h, (x) 



h p _,(x), sont holomorphes pour a<a?5fï, il existe une solution p( x) de (4) 

 et une seule dont le point x = o est un pôle d'ordre p. 2" Supposons 

 y>o et inférieur à /;. Il n'existera en général de solution du système (7) 

 que si q fonctions entières en X : G, (À), G 2 (X). ..., G ? (X), sont nulles. 



