SÉANCE DU 7 JUILLET Iç)l3. 33 



coides de seconde espèce dont les hélices génératrices ont un pas angulaire 

 constant, ces génératrices et les méridiennes forment un réseau conjugué. 



Théorème IV. — Exception faite des hélices à pas stationnaire, il existe sur 

 chaque génératrice deux points où elle touche une asymplotique. Au contraire, 

 sur une génératrice à pas stationnaire, il n'y a aucun pareil point, à moins 

 que la génératrice ne soit une asymplotique. 



Pour les lignes de courbure, on a une proposition analogue. Les deux points 

 sont équidistants du point central. 



Je me suis proposé de chercher dans quel cas une méridienne peut être 

 une ligne de courbure. Je me bornerai ici à énoncer le résultat suivant : 



Si les méridiennes forment un faisceau de lignes de courbures, la surface 



est un cône ou un hélicoïde. La méridienne de ce dernier est définie par 



la relation 



t \ , , „ \ " , / a -i- \/a- — x- v 



(-) s=(a»— x s r--log )• 



2 \ a — \ a- - - 



6. Les trajectoires orthogonales des génératrices sont données par l'équa- 

 tion linéaire 



( 8 ) -T-+— 7T?+ ■ ,. — O. 



dp c--t- /c 2 p ! h L- 



7. Courbure totale. — Malgré l'intérêt de la discussion complète de cet 

 élément, nous devons nous borner à énoncer les propositions les plus géné- 

 rales que nous ayons obtenues à son sujet. 



Théorème V. — Sur une génératrice à pas non stationnaire, il existe deux 

 points paraboliques et quatre points dont la courbure totale ait une valeur 

 donnée non nulle. 



Théorème VI. -- Dans les surfaces dont la génératrice a un pas angulaire 

 constant, le lieu des points paraboliques se compose de : 



i ° La ligne de striction; 



2° Des génératrices lieux des inflexions des méridiennes. 



Courbure moyenne. — Théorème VII. — Sur chaque génératrice à pas non 

 stationnaire il existe six points où la courbure moyenne ait une valeur donnée 

 non nulle et trois points où la courbure moyenne soit nulle. (Discussion inté- 

 ressante pour le cas exceptionnel. ) 



C. R., i 9 i3, 2- Semestre. (T. 157, V 1.) 5 



