SÉANCE DU 7 JUILLET IÇjl3. 35 



Ceci posé, soit S une symétrie, c'est-à-dire une substitution semblable de 

 la forme /, de déterminant — i, et laissant fixe point par point une droite 



u.r ■+■ vy -+- vcz — o 



qui rencontre la conique f(x,y, s)= o. u,v, w sont entiers et l'on en déduit 

 une substitution T, telle que S'= TST -1 soit du type 



S' = 



où, par ce qui précède, ad — bc = i et a -+- d = -i. 



Une réduction ultérieure s'obtient par la considération de la forme 



\\> (y , :) = cv- -+- ( (V — a )yz — hz* 



inaltérée par la substitution (ay + bz, cv-hdz). Son discriminant étant 

 nul, on arrive au type 



S": 



Mais pour que S" reproduise une forme ternaire v doit être nul. Désignons 

 alors par (X, jà) une symétrie S". Deux symétries ( X, u.), (X', jjl') seront de 

 même classe, dès qu'on aura 



{i.,[j.)— (*', ij. '), (mod2), 

 car elles se transforment l'une dans l'autre par la substitution 



Les quatre types restant se réduisent eux-mêmes aux deux seuls (o, o) 

 et (i, i). Il y a donc seulement deux classes de symétries, les types en sont : 



et 



•i. o, o 

 i, ;, o 

 i, o, i 



Les formes qu'elles laissent inaltérées sont respectivement 



(i) ax*-\- by*-h zgys -+- gz s , 



(2) ax 3 -h (2/ — g)y i + (2/1 — g r )s 2 -(- 2gys -+- 2 hzso 4- ■•./../• 1 . 



