SÉANCE DU l5 JUILLET igï3. 107 



I. Dans une Note présentée à l'Académie le 1 4 avril i()i3, M. Gunther 

 cite un exemple qui montre qu'un système d'équations aux dérivées 

 partielles ne peut pas toujours être ramené, par le changement des variable 

 indépendantes, à la forme canonique de M. Delassus. La proposition 

 suivante, que j'ai pu établir, prouve l'existence d'une forme canonique 

 plus générale à laquelle tout système est ainsi réductible : 



Etant donné un système quelconque d'équations aux dérivées partielles, on 

 peut toujours, par un changement linéaire et homogène des variables indé- 

 pendantes, suivi d'une résolution par rapport à certaines dérivées, le trans- 

 former [sauf le cas d'incompatibilité) en un système complètement intégrable 

 où les conditions initiales présentent une disposition régulière. 



On peut établir la convergence des développements des intégrales en 

 utilisant la méthode de M. Delassus, et fixer les conditions initiales de la 

 même manière ('"). 



II. En remplaçant les paramètres u, v par des fonctions de nouveaux 

 paramètres ir,, iv 2 , on peut, de plusieurs manières, ramener l'expression 



(1) Edu*-h 2Fdudv ■+• Gdv i 



à la forme 



(2.) À (<Av* -)-«?«»»). 



où A désigne une fonction de ir,, w 2 : or il est utile, en vue de certaines 

 applications géométriques (-), de savoir si l'expression ( 2) peut à son tour 

 être ramenée à la forme 



(3) d*+^dxdy + Ady*, 



v doc oy " 



où <f 3 désigne une fonction à déterminer. 



Si l'on pose 



dvc, dw, . 



<)w t = -— rt.r H ; — dy, 



Oc oy • 



d(V s <h\:, 



Ow, = — — dx h — dy, 



ôx dy J 



(') Une démonstration détaillée de ce résultat paraîtra prochainement. 

 C 2 ) Eisemiart. Différenciai Geometry, p. 3Go. 



