SÉANCE DU 21 JUILLET IO,l3. 199 



En particulier on a 



u(x)= '' (j: \, -lf e*r 9(y \ i dy pour <p(a;)= S>(— x), 



1 — 2 7lA 2 J_ ^ 1—2 ~/. J ^ 



?(•*•) 



/ a>(y) 

 X / e' J '}' — "^ . dy pour <o(.r) = — ©(— x). 



2 / I + 2 7U 2 ■' ' 



u(x)— y 



I -+- 2 7T A 



On démontre aisément que la solution trouvée (2) est unique et que 

 c'est la plus générale pourvu que les valeurs du paramètre A ne soient pas 

 racines de l'équation 1 — /i- 2 A 4 = o. Cette solution envisagée comme 

 fonction du paramètre X estime fonction de A ayant seulement quatre pôles, 



dont deux réels ( H — -=, ■==) et deux imaginaires ( + — => f=)' 



\ V 27r V271/ \ v' 27r v 27r ' 



dans le cas général où f(%) n'est ni paire ni impaire; deux seuls pôles réels 

 si y(x) est paire; seulement deux pôles imaginaires si f(x) est impaire. 



Remarquons maintenant que tandis que, dans la méthode de Fredholm 

 on envisage un noyau résolvant fonction méromorphe par rapport au para- 

 mètre A, tel que les pôles de la fonction au dénominateur soient fixes quelle 

 que soit la nature de la fonction donnée <%(x), dans le cas de l'équation (1), 

 au lieu d'un noyau résolvant, je suis amené à considérer une fonction 

 résolvante du paramètre A, dont les pôles changent suivant la nature paire 

 ou impaire de la fonction donnée *(#). En outre, tandis que, suivant l'idée 

 fondamentale de M. Volterra, on regarde une équation intégrale avec un 

 domaine d'intégration fini comme le cas limite d'un système d'équations 

 algébriques dans le cas de l'équation (1) on démontre, en appliquant le 

 théorème classique de Fouricr, qu'elle se ramène à un système de deux 

 seules équations algébriques. Ainsi la solution est donnée par une seule 

 quadrature . Si l'on désigne avec M. l'icard sous le nom d'équation intégrale 

 singulière toute équation intégrale dont les propriétés diffèrent du cas 

 normal de Fredholm, on voit que (1) appartient à cette nouvelle classe 

 d'équations fonctionnelles. 



2. L'équation (1) définit une représentation intégrale de la fonction 

 donnée f(.r) sous une forme plus générale que celle classique de Fourier. En 

 posant dans (1) Xç(a?) au lieu de v(x) et en faisant tendre ensuite A vers oc 

 on a 



?(•*")=/ e' ry u{y)dy. 



