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et l'on vérifie aisément que la solution trouvée (2) donne dans ce cas 



« r + °° 



u(x)= — / e-'** u(y)dy. 



C'est le théorème classique de Fourier. 



3. Envisageons maintenant l'équation plus générale 

 (3) ? (*) = «(*)'+*/ [e<*r+f(.x,j)]u(r)dy, 



qui pour f(x,y) = o se réduit à l'équation (1). Supposons que les fonc- 

 tions données <p (x) et /{x, y) (par rapport à x, comme par rapport à y) 

 satisfont aux conditions visées plus haut, et cherchons une solution telle 



que / y(^) s) u(z) dz satisfasse aussi aux mêmes conditions. Je ne ferai 



J — ■» 

 aucune hypothèse sur la façon dont s'annule le noyau f(x, y) pour 

 y = ±oo('). On trouve que dans les trois cas suivants l'équation (3) est 

 bien singulière : 



cf.. Si l'on a f(&,y')=—f(—œ,y) et cp (x) = cp (— x), la solution 

 de (3) s'écrit 



u(x) — 



I — 2 7TA 



r-~ l f e ' xy ■ -*l\* d y + H*)-H-*)i 



où '\>(x) est une fonction arbitraire qui satisfait à des conditions très 

 générales. 



(3. Si l'on a/(x,y) =/(— &,y) et ç(a?) = — <p( — a"), il vient 



«(*) = y(j) ,, -iir e ,-, y f(r) rfr + ^ (j) + (1<( _ a . ) . 



IH-2 7t>i 2 J__ H-2 7T/ 2 J T T 



y. Si enfin f(as,y) = —f(—w,y) et <p(a;) = — <p(-a?), il y a la 



(') Remarquons qu'une équation intégrale avec les limites infinies se ramène à une 

 équation normale de FretMiolm, si le noyau s'annule, en faisant tendre la variable 

 d'intégration y vers ±», comme A | ) |~'' ou /< > j [cf. II. PoiNCARfi, Remarques 

 diverses sur l'équation de Fred/iolm (Act. math., t. XXXIII, 1, 1910)], et que dans 

 le cas contraire il existe des solutions continues, méromorphes par rapport au para- 

 mètre X, pour certaines valeurs particulières de /. [cf. Picard, Sur les équations 

 intégrales de troisième espèce (Annales de l'Ecole Normale, 191 1)]. 



