l'j-l ACADÉMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE. — Formule approchée de V arc d' ellipse . 

 Note de M. Rodolphe Soreau, présentée par M. Appell. 



Je prends le sommet B comme origine des arcs, et je définis leur extré- 

 mité M par l'angle BOM' = 0, M' étant la projection de M, parallèlement 

 au petit axe, sur le cercle de rayon OA. La formule très simple que j'ai 



imaginée est 



2 /. 'j 

 arcBM == a sin r ) - 



AU 



Elle tend à devenir rigoureusement exacte, quel que soit 0, quand le rap- 

 port p = - tend vers ses limites o et i : en effet, pour p = o (ellipse infini- 

 ment aplatie), elle devient arc BM = a sinO; pour p = i (cercle), elle 

 devient arcBM =«G. En outre, pour = - (quart d'ellipse), on retrouve 

 ma formule 



arc BM = a 



sin kn 



qui donne une erreur relative très faible, dont le maximum est d'envi- 

 ron ûnnrO)- 



A la vérité, L'approximation n'est pas toujours aussi grande pour des arcs 



quelconques; elle est néanmoins suffisante dans nombre d'applications. C'est 

 ce que montre la Table ci-dessous du coefficient de a, Table établie pour la 



valeur moyen ne p = -; la plus grande erreur relative n'atteint pas 3 pour ioo. 



Cette formule nouvelle est susceptible d'une élégante interprétation 

 géométrique, qui aide à la fixer dans la mémoire. On peut l'écrire, en effet : 



arc I! \l r7 si n 



>/, 8 sin ■>./, 8 



Delà ce théorème : Le rapport entre l'arc d'ellipse BM et Parc de cercle 

 de rayon € ik intercepté par l'angle au centre BOM' est sensiblement égal 

 au rapport entre leurs projections sur le grand axe. 



(') Comptes rendus. 1. 156, 19 niai 1 9 1 .3 , p. 1 5 1 3 . 



