SÉANCE DU 28 JUILLET IÇ;l3. 27.^ 



analyse mathématique. — Sur les modules dénombrables. Note 

 de M. E. Stiemke, présentée par M. Hadamard. 



Les nombres de la suite finie ou intinie a,, a,, . . . sont dits indépendants, 



si une relation 



k, <Xi + /,., a 2 + . . . + k,„ y. m = o 



m 



avec des coefficients rationnels entiers ne peut exister pour aucun m limité, 

 excepté le cas que tous les k r égalent o. Si co M co.,, ... est une suite de 

 nombres indépendants, la totalité M de tous les nombres 



« = />-, U), + À'jUj + . . . + A',,, 'ù m 



avec des coefficients rationnels entiers forme un module, c'est-à-dire un 

 ensemble de nombres, qui se reproduit par addition et soustraction ordi- 

 naires. Nous écrivons 



M = [«,, w 2 , . . .] 



et nous dirons que eu,, w 2 , . . . constituent une base de M. Il est évident que 

 ebaque base peut être modifiée par des substitutions finies unimodulaires. 

 Si la suite des co,. se termine par le /i lcme terme, M = | co,, co.,, . . ., w„] est 

 un module fini de n membres. 



J'ai étudié la question de savoir quand un module quelconque possède une 

 base. Au cours de mes réflexions j'ai été conduit aux définitions cl 

 théorèmes suivants. 



Définition. — Etant donné un module dénombrable M, considérons m nojn- 

 bres indépendants a,, a 2 , . .., cc m de M. Les nombres ol de M, qui suffisent à 

 des relations de la forme 



ky. = k, a, + /'.> a, + . . . -+- k„, c„, 



