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forment de nouveau un module. J'appelle la totalité de ces nombres la section 

 de M, définie par a.,, a a , ..., et.,,,. Si chaque section de M est un /nodule fini, 

 le désigne M sous le nom de module à sec/ ions finies. 



Etant donné un module fini M = [o> ( , a> 2 , ..., w„|, la section M' de M, 

 définie parles nombres a,, a 2 , ..., a„_,, possède une base a»',, (0 2 , ..., a>' n _ t . 

 Il est aisé de voir qu'on peut trouver un nombre u>' n de M de façon (pie û>' ( , 

 cd.',, ..., w,' t constituent une base de M. Il s'ensuit même que la base d'une 

 section arbitraire de r membres de M peut être complétée par l'adjonction 

 de n — r autres nombres à une base de M. 



En faisant usage de ces résultats, on démontre facilement les théorèmes 

 suivants : 



I. Pour qu'un module dénombrable ait une base (finie ou infime), il faut 

 et il suffit qu'il soit un module à sections finies . 



II. Si le module M peut être représenté par une base, il en est de même pour 

 chaque module M' contenu dans M. 



Il en résulte une intéressante application : 



La totalité de tous les nombres algébriques entiers et de même chaque module 

 contenu en elle possède une base. 



Les théorèmes I et II subsistent encore quand, au lieu de modules de 

 nombres, on envisage les groupes abéliens ne possédant aucun élément 

 d'ordre fini (excepté l'unité). En effet, la théorie de ces groupes ne diffère 

 de celle des modules que par les notations. S'il s'agit spécialement du 

 groupe abélien formé par les idéaux principaux d'un corps algébrique au 

 degré fini, nos résultats combinés avec le théorème fondamental deDirichlet 

 sur les unités complexes nous donnent le théorème : 



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III. Soit K un corps algébrique au degré fini ; parmi les quantités p = e '" 

 contenues dans K, considérons celle pour laquelle l'entier positif m a la plus 

 grande râleur possible. A ces conditions, on peut choisir dans K une suite de 

 nombres o>,, w 2 , ..., de sorte que chaque nombre w de K. se laisse représenter 

 d'une manière univoque dans la forme 



Va,— o, ±i, ±2, . 

 Les oi r peuvent même être choisis parmi les nombres entiers du corps. 



