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Ainsi le problème du lenl mouvement permanent de la goutte est par- 

 faitement déterminé par ses équations obtenues, du moins quand on 

 attribue à la goutte une figure de révolution. 



VI. Il l'est même sans cette restriction. Ecartons, en effet, la fiction 

 d'une surface séparative n sans épaisseur pour mettre, à la place, une couche 

 mince où existerait la continuité des pressions, c'est-à-dire les équations 

 d'équilibre (i), avec valeurs des ÏN,T plus complexes que (2) et rapide- 

 ment variables dans le sens de l'épaisseur. Le travail, changé de signe, des 

 actions intérieures de la couche devient alors une partie sensible de l'inté- 

 grale en îô trouvée 



(11) dtf 



r/m. 



où l'expression entre crochets, travail (au signe près ) des forces intérieures par 

 unités de volume et de temps, est indépendante du choix des axes par sa signi- 

 fication même. Or évaluons-la pour tous les éléments r/cr qui constituent un 

 fragment <h de la couche superficielle, en prenant un axe des z normal à la 

 couche, avec des x et des y orientés suivant les vitesses principales 3, 2' de 

 dilatation de tous ses feuillets, dont dz sera l'épaisseur élémentaire. On y 



aura donc 



, , , du dv ., du dv 



dm = d:dcr, -y- =3, -=— = , —. 1 — — r=o; 



d.v dr tty d.v 



et, seules parmi les N, T, les forces exercées suivant 3 et 3' sur des 

 coupes normales aux deux faces dn du fragment seront assez grandes pour 

 donner des termes sensibles sous la petite épaisseur de la couche. L'inté- 

 grale (1 1), où l'on pourra effectuer pour le fragment la sommation en s, 

 s'écrira donc, si l'on observe que rS x dz, / N y dz seront précisément nos 

 deux tensions superficielles principales J. t , 



(12) dt ! da(l f H x dz -+-D' / N y dz\ == dl j (#3 -+- J'y), h. 



Au contraire, pour les éléments de volume dm ordinaires des deux 

 fluides, où les N, T ont les expressions (2), l'intégrale ( 1 1) prend, vu (3), 

 la forme (6). Et l'annulation de la somme, (n), des travaux élémentaires 

 changés de signe, pour tout l'ensemble du système matériel en équilibre 

 sous l'action de ses seules forces intérieures, conduit bien à l'équation (9), 

 ainsi démontrée d'une manière générale. 



