SÉANCE DU 4 AOUT I9l3. 325 



M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la 

 Correspondance : 



CoMMISSAO GEOGRAPHICA E GEOLOGICA DO EsTADOS de S. PaULO. ExplorClÇUO 



do Rio-Grande e de seus affluentes. S. José dos Dourados. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctionnelles continues et les fonction- 

 nelles analytiques. Note (') de M. R. Gâteaux, présentée par M. Hada- 

 mard. 



1. Soient dans le domaine réel une fonction continue s(a), (o<a<i), et la 

 fonctionnelle continue U(s) définie dans le champ A<z "SB. On a 



(i) U(z) = lim p n (;,...., s„) =:lim U„( ;), 



p„ étant un polynôme de n variables, L n (z) une somme d'intégrales multiples; 

 la convergence étant uniforme dans tout ensemble compact de fonctions z. 



(Obtenu par une autre voie par M. Fréchet : Comptes rendus, 18 jan- 

 vier 1909 et i or février 1909.) 



Construction de p n . Soit z p une ordonnée de s(oc) quand- 5a£-- 



Remplaçons s(oc) par la fonction 'C(a) représentée par la ligne brisée dont 

 les sommets sont définis par H — ) =^,,16 premier côté étant parallèle à Oa. 

 On a:U(Ç) = u a (s,,...,z a ) fonction continue qu'on peut remplacer par un 

 polynôme p„(z n ..., s„) tel que \p„ - u„\ < -■ 



Construction de U„(s). Soit a„(a) une fonction de a positive ou nulle, telle 



Jfn ^ _ /'il 



«„(a) doc == 1. Nous pouvons choisir : z* = / «„(a) s (y.)doc. Por- 



// » 



tons dans/j,,, nous obtenons: 



U„(-) = K„ i0 -+- V / •••/ K n , p (a„ . ; ..,* / ,)3(« 1 )....s(a /I )rfa 1 . . . rfa pi 



P = l m n 



K„ iP étant une fonction qu'on peut rendre continue et symétrique. 

 (') Présentée dans la séance du 28 juillet 1913. 



