326 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. Fonctionnelles d'ordre entier. — La définition de M. Fréchet suffisant 

 seulement dans le champ réel, adoptons la suivante : 



Soient le champ des fonctions continues z (a.) = .r (ot.) -+- iy(oé), (oza.1: i); 

 la fonctionnelle U(g) continue dans ce champ; A, A' deux nomhres com- 

 plexes U(s) est d'ordre m si U(Az 4-X'V) est un polynôme de degré m 

 en X, A'. Si ce polynôme est homogène, U(.z) est homogène d'ordre m. 



Et (n° 1) l'on peut écrire son expression dans ce dernier cas : 



5„) = Ktt / ••• / K„(«,,..., 



U(z) = ï\mp n (z u 5„) = ïitfl j ■■■] K„(«,, ..., a. m )z(v.,)...:(a m )da l ...dx,„, 



n = » n= x. „ . „ 



/>„, polynôme homogène de degré m; K„, fonction complexe continue symé- 

 trique. 



Pour m — x , nous retrouvons la représentation de la fonctionnelle linéaire, 

 obtenue par M. Hadamard. 



3. Sur la différentielle totale. — Soit dans le domaine réel la fonction de 

 deux variables, par exemple u(x, y) continue par rapport à l'ensemble 

 des variables dans un domaine D. Si, x, y appartenant à D, la quantité 



-= «,>-„) {as -+- a dx, y -+- \dy) = du{x, y; dx, dy) 



existe et est continue par rapport à l'ensemble des variables x, y, quels que 

 soient dx, dy, elle est linéaire en dx, dy et égale à u x dx -+- u\ dy. 



4. Si (n" 1) U(s) admet une variation première SU(s, os) continue par 

 rapport à l'ensemble des fonctions z, oz, on peut choisir p„ tel que oU soit 

 la limite de dp,, et de oU„, qui sont linéaires en oz. D'où : 



Théorème. — Soient dans le domaine réel la fonction continue s (a), et la 

 fonctionnelle U(s) continue dans le champ A 5 z < B. Si dans ce champ U(s) 

 admet une variation première SU (s, oz) continue. par rapport à V ensemble 

 des fonctions z. oz, cette variation première est linéaire en Bz. 



5. Fonctionnelles analytiques. Définition analogue à la définition de 

 Weierstrass. — Soient la fonction continue z(a) = cv(ol) ■+- iy(a), (o^a<i); 

 la fonction R(a) supérieure à un nombre positif. D'après M. Fréchet la 

 fonctionnelle U(z) est dite holomorphe près de zéro dans |z(*)|<H(a) 

 si l'on a 



(2) U(*) = u ^-u 1 (*) + ... + u;(*)+..., 



