SÉANCE DU II AOUT I9l3. 367 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Expression directe des fonctions électro- 

 sphèriques ; formation d'équations différentielles vérifiées par ces fonc- 

 tions. iNote de MM. A. (juillet el 31. Aubert, présentée par 

 M. Amagat. 



I. Les fonctions étectro-sphériques P sont engendrées par le développe- 

 ment suivant : 



» 



F'x, a,b,z) — {i+ zx + a 2 -' 2 ) [1 - {a* — a"- - b'- ) z 1 ' + a 2 b> ;■>]-> =£ V n z", 







En permutant a et b dans la fonction génératrice F, on obtient les fonc- 

 tions Q {Comptes rendus, l. 155, p. 820). 



On peut aussi lier les fonctions P el Q à une opération géométrique. En 

 effet, deux sphères de centres A, B et de rayons a, b étant données, si l'bn 

 construit, à partir des origines A et B, les points alternativement conju- 

 gués par rapport aux deux sphères, à savoir, 



(A), A„ ..., A SP , A 2/H i, •••: (B). B„ ..., B,,,. B,j, +r , ..., 

 on a 



AB 2p _ 1 = rt 2 < v ).,, t.lQîp-u AH,,, = Q,,,, ,: «,»,,,. 



et 



BA,p_,= 6 2 P.,,,_ 2 : Pjp_i, BAj p = P>^+i : 1',,,, 

 BB 2/ ,_ 1= Q 2/ , : Q 2/ ,_„ BB 2 „ = 6=Q„_, : Q s/1 . 



II. Il est facile de calculer P et Q par voie récurrente, avec ou sans l'inter- 

 vention des fonctions U telles que 







mais il peut être utile d'exprimer directement l'une quelconque des fonc- 

 tions de la famille P ou de la famille Q. 



La forme très symétrique suivante est révélée par l'observation attentive 



