SÉANCE DU 29 SEPTEMBRE I<)l3. 5c>7 



Soient x , y un point quelconque du plan de représentation et ( \ un cercle quel- 

 conque de centre x a , y a et de rayon p. Alors, en désignant par M lemaximum, 

 par m le minimum du polynôme P (x, y) sur le cercle C, on a 



(2) OTH SP(a? , yo)ÎM 



n ■+■ 1 



en désignant par n le degré du polynôme harmonique P (x, y). Sic'est lesigne 

 d'égalité qui est valable ici pour un polynôme harmonique P (x, y) d'ordre au 

 plus égal à n (pour le point .r , y„ et pour une certaine ra/eur p du rayon du 

 cercle C), alors P (x, y) est la partie réelle d'un polynôme de la variable 

 complexe z à coefficients complexes de la forme 



y + *\n\_(ù(z — b)] + (« — !) [û> (s — c )]*+...+ [> (2 — c)]" 



p 



où y et ol désignent des nombres réels quelconques, c et co des nombres com- 

 plexes quelconques ( c = x -+- iy„ , et \ a) | == - J • 



La démonstration est basée sur le théorème suivant : 



Soit 



(3) <p (9) = 1 -t- a,cos 8 -h b^inO -h. . .-h fl„cos nO 4- 6„sin 11') 



un polynôme trigonomélrique quelconque d'ordre au plus égal à n, et non 

 négatifyoow/* chaque valeur de 0. Alors on a 



(4) <p(o)</n-i. 



Sic'est le signe d'égalité qui est valable dans (4) pour cp*(0), d'ordre au plus 

 égal à n, alors 



( n H- 1 ) 1- « cos -+■ . . . + cos 



En effet (') 



(5) jp/oN—J- / cp (5) ( 1 -h acosÔ -+- . . . -+- 2 cos n8)d8. 



(') On conclut de (5) que, pour une fonction quelconque f(0) non négative et 

 inlégrable pour o'I 9 S 2ir, on a .v„(o) _ >./( -t- 1, en désignant par s„(9) la somme des 

 (rt-t-i) premiers ternies de sa série de Fourier, dont le terme absolu est supposé être 

 égal à 1. 



n<J I sin (n -+- 1) - 



